行列とは? 主な行列とその使い方

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使い方の例（逆行列、転置行列）
1. 逆行列の使い方（例）
2. 転置行列の使い方（例）
追記

使い方の例（逆行列、転置行列）

逆行列の使い方（例）

行列の演算にわり算はない。ただ、逆行列 A^-1 を使った演算が、それに近い使い方となる。

例えばあるベクトルｘ→ が行列 A の変換により y→ になったとする。

ｘ→ と y→ の関係式は

y→ = Aｘ→

逆に y→ から x→ を求めるには、逆行列 A^-1 を両辺の左から掛け、⑥式を適用する。
（四則演算のわり算で逆数をかけるのに近い）

つまり、

A^-1 y→ = A^-1 ・A ｘ→ = ｘ→

よって

ｘ→ = A^-1 y→

（方程式の解を求める時にも、よく見るかと）

ただ行列の積の性格（A・B≠B・A）上、逆行列を掛ける”順序”は、左右両辺同じ方向から掛けなければならない。

参考までに、\(A \) が \(
A = \left ( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right ) \) の正則行列（2×2）の時、行列式、余因子行列と逆行列は、

\( det~A = ad – bc \) 、\( \tilde{A} =\left ( \begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a
\end{array} \right ) \) より、

\( A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{ad – bc} \cdot
\left ( \begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a
\end{array} \right ) \) となる。

力学で使うのはほとんどの場合 3×3 行列までであるが、この行列の逆行列の成分計算は少し複雑になるため、計算間違い防止の意味も含め、ほとんどの場合ソフトに計算させる場合が多い。

ただ手計算が必要であっても、座標軸変換等での行列は正規直行行列での行列利用になるため、まじめに計算せずに、次章の転置行列から逆行列を求める場合が多い。

-> 逆行列＆行列式のこれ以上の詳細は別記事（予定）で。。

転置行列の使い方（例）

転置行列が道具として使いやすいのは、特にその行列が正規直行行列の場合。

逆行列計算が簡単になる。行列をひっくり返すだけ（ベクトル回転させる時によく使う）。

正規直行行列の⑧の性質を使っている。

直行行列Aは、転置行列と逆行列が等しい
： A^-1 ＝ A^tr ・・・⑧

一つの直行行列の場合には、大したメリットは感じないが、複数の正規直行行列を変換するような場合（行列の積）に有用なのである。

正規直行行列同士の積は正規直行行列である事（⑪式）も使って、その複雑な成分計算結果を、ただひっくり返すだけで逆行列にする事ができる。

楽である。

例えば、あるベクトルｘ→ が

θ(rad)回転
-> 続いてφ(rad)回転

した場合の回転行列、Ｒ_φ・Ｒ_θで考えてみる。
(Ｒ_θ Ｒ_φは共に正規直行行列、よってＲ_φ・Ｒ_θ も正規直行行列)

二つの回転後のベクトルを y→ とすると、

x→ を y→ に変換するには、

y→ = Ｒ_φ Ｒ_θｘ→ ・・・⑬

となるが、逆に y→ から x→ を求めるとなると、Ｒ_φ、Ｒ_θ の逆行列が必要になる。

が、まじめに計算する必要はない。

Ｒ_φ・Ｒ_θ の成分計算後であれば、必要となる逆行列に転置行列を代入して

ｘ→ = (Ｒ_φＲ_θ)^-1 y→ より
= ( Ｒ_φＲ_θ )^tr y→ ・・・⑭

<- 計算したＲ_φＲ_θ の成分の行と列をひっくり返すだけ

Ｒ_φ、Ｒ_θ を個別に処理するのであれば、

(Ｒ_φ)^-1 、 (Ｒ_θ )^-1 の逆行列を順にかけ

ｘ→ = (Ｒ_θ )^-1 (Ｒ_φ)^-1 y→ より
= (Ｒ_θ )^tr (Ｒ_φ)^tr y→ ・・・⑮

<- Ｒ_φＲ_θ 個別に行と列をひっくり返して、その後成分計算

当たり前ではあるが、（⑦式より）⑭式と⑮式は等しい。

複数の行列の積を手計算で求めた後に、その逆行列成分を求める。。。となると気が遠くなるが、正規直行行列であれば心配無用。

転置行列が逆行列となる
（行と列をひっくり返せばよいだけ）。

追記

さて、続いてはこの行列自体の和、差、積について（割り算はないが、逆行列による積が似た感じの使い方になる）。