はじめに
（もちろん、正確な数字は電卓で計算するけど、、、）
指数表示の数字でも慣れてくると簡単に、
102.7 <- だいたい500ぐらい、、、
104.3 <- だいたい20,000ぐらいかな。。。
と、ざっくり元の数字がイメージができるようになる
（＆対数の感覚もつかめるようになる）。
この感覚は指数の見方をちょこっと知っていれば、慣れてしまうモノ。。。
この見方をつかむために、べき乗（底と指数）について、はじめから書いておこうと。
マイナス乗とか分数乗等、普段あまり見ない形についても（特に丸暗記する必要なし）。
まずは、指数の意味から、指数部分の足し算-> 引き算 -> かけ算 -> わり算（分数）へ。
べき乗と指数の意味＆見方を簡単に
べき乗とは、ある数字を abと表す数式：底と指数
べき乗とは、任意の数字を abと表す数式（計算方法）であり、
- aを”底”、肩にのるｂを”指数”
と呼ぶ。また、aのb乗という。
指数の構成
まずは指数のイメージをつかむために簡単な例から。
ｂが整数の場合、abは
\( a^b= \underbrace{a~\sf{x}~\it{a}~\sf{x}~\cdots~\sf{x}~\it{a}}_\sf{同じaをｂ個かける} \)
指数が+１増えるとｘa 倍が一つ追加 。
これは、見方をかえれば、a進法での桁数が+１桁増える事になる。つまり、１以下の指数の増加では、同じ桁数。
ある意味、整数部分は桁数を示唆している事がわかる。これが、指数の性質のとらえ方の一つ。
さて、10進法では例えば528は、
- 528
= 5 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100・・・①
である。
これを指数のみで表すのであれば、5.28＝100.7226 と、100＝102 を使って
- 528 = 5.28 x 100 ≒ 100.7226 x 102 = 102.7226・・・②
つまり任意の数字を指数表示したいのであれば、指数部分に小数点を使えばよい。
この時、指数の整数部分は桁数(102＝100)、小数点以下が数字の並び(100.7226＝5.28)を意味する。
（指数表示を使えば桁内の変化率が同じであれば、指数として同じ幅として表現できる。）
指数計算 ：足し算、引き算、かけ算、割り算
指数の足し算
さて、指数をたし算するときの中身。
式の感覚をつかむのに、a4、a2を例とる。a4とa2 をかけると、べき乗の定義から
a4 x a2
＝(a x a x a x a) x (a x a)
=a6= a4+2
底が同じであれば、べき乗の定義から指数の足し算はそのまま成立。
また、この例では数字が2桁上がっている（4桁から２桁上げて６桁)。
<- これが指数の足し算の感覚。
一般的には
ｂ=m+n のとき
ab = am+n = am x an ・・・③
冒頭の任意の数字を10の乗数の指数 （小数点付き）で表現した時の見方は、この足し算を使う。
102.75
-> 102.75 = 100.75 x 102
-> 100.75 が5ぐらい、これの100倍で500ぐらい
（対数（log）の感覚をつかむのにも役に立つ。。）
ちょっとつかみにくいかもしれないので、詳細を以下にて。
↓ ↓ ↓
本記事は、引き続き指数の引き算、かけ算、わり算へ
指数の引き算
では、続いてひき算。
指数部分の”-”（マイナス）の意味について
こちらも式の感覚をつかむのに、 a6とa-2で考えてみる。
この二つを、べき乗の定義に従って掛け合わせると
a6 x a-2
＝（a x a x a x a x a x a) x a(-2) ・・・④
（-> 注：a(-2)はわからないので一旦そのまま）
これがa4と等しい(a6+(-2)=a4：指数の足し算の定義から（ただの引き算になる））
a4は a x a x a x a。これと④式が等しいので
a4= a x a x a x a＝(a x a x a x a x a x a) x a(-2)
これからa(-2) を求めれば、
\(
\require{cancel}
a^{(-2)}=\displaystyle\frac{\bcancel{a~\sf{x}~\it{a}~\sf{x}~\it{a}~\sf{x}~\it{a}}}{\bcancel{a~\sf{x}~\it{a}~\sf{x}~\it{a}~\sf{x}~\it{a}}~\sf{x}~\it{a}~\sf{x}~\it{a}} =\displaystyle\frac{1}{a^2}
\)
つまり、
\( a^{-2}=\displaystyle\frac{1}{a^2} \)
見てのとおり、指数がマイナスであれば、べき乗は逆数となる。
(分母にまわって割る数になる)
一般的には
\( a^{-b}=\displaystyle\frac{1}{a^b} \) ・・・⑤
桁数でとらえれば指数の引き算は、元の桁数の桁下げとなる。
指数部分をm-nとして、より一般的な表記を。
⑤式を使えば、
\( a^{m-n}=a^m ~\sf{x}~\it a^{-n}=\displaystyle\frac{a^m}{a^n} \) ・・・⑥
である。
指数のかけ算
続いて指数部分のかけ算の amxn
またa6を例にとってみる。
指数部分を6＝2ｘ3とするとその中身は
a6= (a x a) x (a x a) x (a x a) = (a2)３
となる。つまり、a2の3つのかけ算。つまり、
a6=(a2)３＝a2ｘ３
別の言い方をすれば、aの２乗を一つの数字見立てて、さらに3乗したもの。
一般的には
ｂ=mｘn のとき
ab = (am)n = amxn ・・・⑦
桁数からみれば、指数のかけ算は、もとの桁数（m桁）のｎ倍化
指数の割り算（分数）
最後にわり算。
\( a^{\frac{m}{n}} \) のような指数部分に分数がのった場合の計算
\( a^{\frac{1}{2}} \) を例にとって中身をみてみる。上のかけ算を利用すれば
\( a=a^1=a^{\frac{2}{2}}=(a^{\frac{1}{2}})^2 \)
この \(a^{\frac{1}{2}} \) に着目する。
つまり、2乗するとaになるもの、つまり \( \sqrt{a} \) である。
指数が分数の場合、分母部分であるｎはｎ乗すると（この場合底の）aになる事を示す。つまり累乗根。
一般的には、
\( b=\displaystyle\frac{m}{n} \) のとき
\( a^b=a^\frac{m}{n}=(a^\frac{1}{n})^m=(\sqrt[n]{a})^m \) ・・・⑧
指数が分数の場合の\( a^\frac{m}{n} \) の意味は
- 分母ｎは aのｎ乗根 (\( a^\frac{1}{n} \) ) を意味し、
- 分子ｍは \( a^\frac{1}{n} \)をm乗する事を意味する
つまり指数が分数である場合は、累乗根（分母）と累乗（分子）の組み合わせとなる。
追記
\( a^\frac{1}{2} \) とか \( a^{-2} \) とか \( a^{2.56} \) とかとか、、、あれ？となるときがあっての、一応の備忘録。
指数の計算は、桁数部分の計算とみておくと、それほど混乱はしない。
ちなみにこの部分の計算に特化したのが対数。
また、指数の性質がわかれば対数の計算のイメージもつかみやすいかと。というのも、対数は指数部分を抜き出しているだけなので性質は同じ。。。