数学一般-1)-2. 角度単位 ”ラジアン”が便利な理由

角度の単位

日常生活では、度数での角度表示が一般的（90°とか360°とか）。
これに対し、数学、物理では角度の単位はπを使ったラジアン(radian)の表示が主に使用される

圧倒的に使い勝手が良いからである。（昔はどっちでもいいじゃん。。と思ってたけど。。）

度数表示の360° を ラジアン表示の2πにするのも理由がある。

ラジアン表記を使う理由

まずは、360°がラジアン表示で2π(rad)になる理由から。

ざっくりといえば、半径=１の円の全周長が２πであるから。この ”長さ２πの周長” を全周角の表示に使っているだけである。

（任意の角度は全周角に対する割合で表示されるので、実は、基準となる全周角は360°表示であろうが２πと表示しようが、表示だけであればどちらでもたいして困らない。）

ただ、２πを基準にするメリットが確かにある。（特に物理とかで）例えば円運動を取り扱う時に、円周の”長さ”に関連づけてみる事が容易になり、お、そっか、当たり前か！と思う事が増える。

この辺を以下に。。

ラジアン表記の見方と意味

さて、一般的な 半径ｒの円の全周Ｌは ”直径 ｘ 円周率π”、

\(Ｌ＝(２ｒ) \cdot \pi \)

これを、ラジアンの ”全周角２π (rad)”が使われているとみれば

\(Ｌ＝ｒ\cdot (２\pi) \) ・・・⓪

つまり、半径ｒの円の周長Ｌは ”半径ｒｘ ”全周角２π (rad)”。

ここで、２πを長さとしてみれば、Ｌは、”半径１の円の全周長（２π）”の”ｒ倍” とも見る事もできる。

さて、ラジアン表示の任意の角度θ(rad)は、全周角２πに対する割合から表示される。

つまり半径1の円であれば、その角度で切り取った”円弧の長さ”を直接あらわす。

（例えば、角度90°はラジアン表示でπ/2（rad）、半径１(m)の円を角度90度で切り取った時の円弧の（短い方の）長さもπ/2(m)）

という事は、⓪式のL＝ｒ・２π・・・⓪ を利用して、この全周角”２π” 部分を任意の角度 θ(rad)で置き換えれば、半径ｒの円をθで切り取った円弧の実の長さ L_p が直接求まる。

L_p＝ｒ・θ （詳細次章）

要は、L_pは半径ｒ＝１の円をθで切り取った弧の長さをｒ倍したものという見方。
（これが、”長さ基準でも見る”、の入り口。ちょっとわかりにくいかもしれないので、後述で別の例を。。）

ラジアン表示に一回もどって。。。以下に。。

単位 ラジアン(rad)

再度、円の全周長 L_a は、半径をｒとすれば

\(Ｌ_a＝\sf{ｒ}\cdot (２\pi) \)

まとめれば、

例：ラジアン（radian）表記が便利な場面

さて、利用例。回転運動を表すときに使う”角速度”も、直線運動の”速度”の定義と同じ見方で理解できる。

回転運動の場合、実移動距離は直線ではなく弧の長さとなるが、ここに前述の ②式（ L_p＝ｒθ ）を使えばよい。

例えば、平均速度の定義は直線運動の場合、

平均速度＝（実移動距離）/（時間） ・・・③

であるが、回転運動中の物体の平均速度ｖ_rにも同じ見方をして

ｖ_r＝L_p / t (m/s) ・・・④

とすれば、これに②式を代入して

\( \begin{align} v_r
&＝\frac{L_p}{t}\\[6pt]
&＝\frac{ｒ\cdot θ}{t}\\[6pt]
&＝ｒ\cdot \frac{θ}{t} ・・・⑤
\end{align} \)

また、ここの ”θ/ t” は、単位時間あたりの角度となるので、これを角速度ωとして

ω＝θ/ t (rad/s) ・・・⑥

と定義する。 ⑤式を書き直せば、

ｖ_r＝rω ・・・⑦

と、シンプルに回転運動の速度が表す事ができる。また、この見方で（⑦式も公式としてではなく）円運動の速度もただ実距離を時間でわっているだけね、で理解できる。便利便利。。