ベクトルの内積の意味とその計算

はじめに

ベクトルの定義については前回の記事を参照

1. ベクトルとは？から

ベクトルとは”大きさ”と”向き”を同時に持つ量、基本はこれだけだが、複数情報を一つの形で持つことができ、またそのままの形で計算可となるため、数学、物理にて多用される（ベクトル計算後に成分値算出等々）。

引き続きベクトル内積＆外積へ。内積も外積も使い道が明確にある便利な道具。道具も使い方を知っていると、より使いやすくなる。

まずは内積から。その定義と計算方法/計算則。

内積を示すときにはベクトルの間にドット ”・” をつける

$\vec{O A} \cdot \vec{O B}$

英語で内積は ”dot-product”

ベクトルの内積 (dot-product)

内積の定義

$\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ のなす角 $θ$ とする。この時 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ の内積は

$\vec{O A} \cdot \vec{O B} = | \vec{O A} | \cdot | \vec{O B} | \cos θ$ ・・・①

で定義される。つまり内積はスカラー量であり、これは $(| \vec{O A} |) \cdot (| \vec{O B} | \cos θ)$ とみれば、

$(\vec{O A}$ の長さ) x $(\vec{O B}$ の $\vec{O A}$ への投影長)

の掛け算を意味する。

また、この”投影”を利用すれば、 $| \vec{O A} |$ ＝１の時には、” $\vec{O B}$ の $\vec{O A}$ 方向への投影長” を意味し、これは座標値算出そのまま。

追記：座標値算出

再度、 $| \vec{O A} |$ ＝１の時の内積値 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = | \vec{O B} | \cos θ$ は、

$\vec{O B}$ のA軸方向に投影したときの長さ
-> ”A軸上の座標成分”

この見方はよく使う

ちなみに、座標軸変換に使っている例はこちら。オイラー角（回転行列）へつながっていくのだが、紐解けばこまごまとベクトルの内積計算を積み上げているだけ。

3. 行列の積とベクトルの内積の関係をもう少し。これを使って軸変換に（回転行列へ）

はじめに前回の記事内で、行列の積の成分計算は行ベクトルと列ベクトルの内積計算と同じである事を書いた。（こちら）これを利用すると、行列の積の計算に内積の特長が利用できる。つまり大きさ１の行ベクトルで構成された行列(全ての行ベクトルが単位ベクト...

内積の計算則

内積の分配法則 (後述の成分計算（④式）から成立している事は容易に確認できる)

$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ ・・・②
$(\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{a}$ ・・・③

内積の成分計算

$\vec{O A}$ の成分を $(x_{a}, y_{a}, z_{a})$ 、 $\vec{O B}$ の成分を $(x_{b}, y_{b}, z_{b})$ とすれば

$\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ = $x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b} + z_{a} \cdot z_{b}$ ・・・④

である。これは導いておく。

まず、Oを原点にもつ $O - X Y Z$ 座標系（直行座標）を設定する。

$O - X Y Z$ 座標の $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸の単位ベクトルを $\vec{i}$ = $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ 、 $\vec{j}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ 、 $\vec{k}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ とすれば、これらの各単位ベクトルは互いに直行。

よって、内積の定義からこれらは以下の性質を持つ。

$\vec{i}$ ・ $\vec{j}$ = $\vec{j}$ ・ $\vec{k}$ = $\vec{k}$ ・ $\vec{i}$ = 0・・・⑤
$\vec{i}$ ・ $\vec{i}$ = $\vec{j}$ ・ $\vec{j}$ = $\vec{k}$ ・ $\vec{k}$ = 1・・・⑥

（全て単位ベクトル、かつ、ベクトルの間の角が直行 ( $c o s \frac{π}{2} = 0$ ) していれば内積は ”０”、同一方向 ( $c o s 0 = 1$ ) であれば”１”）

さて、 $O - X Y Z$ 上の点A、B座標をそれぞれ

点A : $(x_{a}, y_{a}, z_{a})$
点B : $(x_{b}, y_{b}, z_{b})$

とすれば、 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ は各軸の方向ベクトルでもある $\vec{i}$ 、 $\vec{j}$ 、 $\vec{k}$ を使って

$\vec{O A}$ = $x_{a} \cdot \vec{i} + y_{a} \cdot \vec{j} + z_{a} \cdot \vec{k}$
$\vec{O B}$ = $x_{b} \cdot \vec{i} + y_{b} \cdot \vec{j} + z_{b} \cdot \vec{k}$

と書ける。これに②③式、および⑤⑥式の特徴を使えば、 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ の内積値は、

$\begin{aligned} \vec{O A} \cdot \vec{O B} & = (x_{a} \cdot \vec{i} + y_{a} \cdot \vec{j} + z_{a} \cdot \vec{k}) \cdot (x_{b} \cdot \vec{i} + y_{b} \cdot \vec{j} + z_{b} \cdot \vec{k}) \\ = (x_{a} \cdot x_{b}) \vec{i} \cdot \vec{i} + (y_{a} \cdot y_{b}) \vec{j} \cdot \vec{j} + (z_{a} \cdot z_{b}) \vec{k} \cdot \vec{k} \\ = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b} + z_{a} \cdot z_{b} ・・・ ④ \end{aligned}$

と成分値同士の計算結果によっても求まる。
→ 各々のベクトルの成分同士(x成分、ｙ成分、ｚ成分同士)を掛け合わせた値の総和が内積値。

ベクトルをｎ次元に拡張しても、この内積計算は同じ。
(ｎ次元のベクトルの各軸の成分同士を掛け合わせた値の総和が内積値)

追記：その他の使い方例

内積＝0を示して、二つのベクトルのなす角が直角である事
(単純に”内積＝0より二つのベクトルは直行”、みたいな書き方がされる）

” $| \vec{a} |$ , $| \vec{b} |$ ≠0 より、①式から $c o s θ$ =0、よって $θ = \frac{π}{2}$ ( $0 ≦ θ ≦ π)$ )” <- この表記はすっ飛ばしても問題なし。

二つのベクトルのなす角の計算

ベクトルの成分がわかっていれば、①＆④式からそのなす角がでる。つまり①＝④から展開して

$\cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{x_{a} x_{b} + y_{a} y_{b} + z_{a} z_{b}}{\sqrt{{x_{a}}^{2} + {y_{a}}^{2} + {z_{a}}^{2}} \cdot \sqrt{{x_{b}}^{2} + {y_{b}}^{2} + {z_{b}}^{2}}}$