ベクトルの内積の意味とその計算

はじめに
ベクトルの内積 (dot-product)
追記

はじめに

ベクトルの定義については前回の記事を参照

ベクトル-1). ベクトルとは？

ベクトルとはベクトルとは空間上の始点と終点の二点を結ぶ線分。大きさ（長さ）と向き（始点-終点）の”二つの量を同時に持つ”。これが計算上色々と便利

引き続きベクトル内積＆外積へ。

内積も外積も使い道が明確にある便利な道具。道具も使い方を知っていると、より使いやすくなる。

まずは内積から。その定義と計算方法/計算則。

ベクトルの内積 (dot-product)

内積の定義

OA→、OB→ のなす角θとする。

この時OA→、OB→ の内積は

OA→・OB→＝｜OA→｜・｜OB→｜cosθ ・・・①

で定義される。つまり、内積はスカラー量であり、

|OA→|・|OB→|cosθ は、(OA→ の長さ ) x (OB→の投影長)

の掛け算を意味する。

内積を示すときにはベクトルの間にドット ”・” をつける。

英語で内積は ”dot-product”

これを利用して|OA→|＝１の時には、OB→ を OA→ 方向に投影した長さ”となる。

見方を変えれば、これは座標値算出に使える。

つまり、|OA→|＝1の時、内積値は

OA→ 方向の軸に投影した OB→ の成分値

となり、OB→ のA軸方向の投影長さ＝”A軸上の座標成分”となる。

行列の掛け算の成分計算は、行ベクトルと列ベクトルの内積の成分計算（成分計算方法は次章で記載）となっているがこの特徴を覚えておくと、その計算が何を意味するかつかみやすくなる。
先に言えば、座標軸変換に使っているのである。こちらを参照

行列 3). 行列の積とベクトルの内積の関係。ちょっと広げて、軸変換まで（回転行列入り口）

はじめに前回の記事内で、行列の積の成分計算は行ベクトルと列ベクトルの内積計算と同じである事を書いた。（こちら）これを利用すると、行列の積の計算に内積の特長が利用できる。つまり大きさ１の行ベクトルで構成された行列(全ての行ベクトル...

内積の計算則

内積の分配法則も成り立つ
(後述の成分計算（⑥式）から成立している事は容易に確認できる)

a→・(b→+c→)= a→・b→ + a→・c→ ・・・②
(b→+c→)・a→ = b→・a→ + c→・a→ ・・・③

内積の成分計算

Oを原点にもつO-XYZ座標系（直行座標）を設定する

x軸、y軸、z軸の単位ベクトルを i→ , j→ , k→

i→ : (1 0 0)
j→ : (0 1 0)
k→ : (0 0 1)

とする。

各単位ベクトルは互いに直行しているので、内積の定義からこれらは以下の性質を持つ。

i→ ・j→ = j→・ k→ = k→ ・ i→ = 0・・・④
i→ ・ i→ = j→ ・ j→ = k→ ・ k→= 1・・・⑤

（直行していれば内積”０”、同一方向であれば”１”）

さて、O-XYZ上の点A、Bをそれぞれ

点A: (x_a y_a z_a)
点B: (x_b y_b z_b)

とし、各軸の単位ベクトルを使うとOA→, OB→は、

OA→ = x_ai→ + y_aj→ + z_ak→
OB→ = x_bi→ + y_bj→ + z_bk→

と書ける。

これと②③式を使って、OA→, OB→ の内積の成分計算を行う。

OA→・OB→
＝(x_ai→ + y_aj→ + z_ak→)・(x_bi→ + y_bj→ + z_bk→→)
= x_ax_ｂ + y_ay_ｂ+ ｚ_az_ｂ・・・⑥

つまり、各々のベクトルの成分同士(x成分、ｙ成分、ｚ成分同士)を掛け合わせた値の総和が内積値になる。

ちなみにベクトルをｎ次元に拡張しても内積計算は同じ。
(ｎ次元のベクトルの各軸の成分同士を掛け合わせた値の総和が内積値)

その他、よく見る使い方としては、、、

内積＝0を示して、二つのベクトルのなす角が直角である事を示す時。

（単純に”内積＝0より二つのベクトルは直行”、みたいな書き方がされている）

例： a→=(5,0,3) , b→=(0,3,0) の場合、

a→・b→= 5×0+0x3+3×0 =0,

ここで|a→|,|b→| ≠0 を踏まえると、

①式から cosθ=0

つまり（θを鋭角側をとると）θ=π/２。

よって、a→とb→は互いに直角。

もしくは、似たような使い方として、

二つのベクトルのなす角の計算。

ベクトルの成分がわかっていれば、①＆④式からそのなす角がでる。

つまり①＝④から展開して

\( \cos\theta = \displaystyle {\frac{x_a x_b+y_a y_b+z_a z_b}{\sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2} \cdot \sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}} \)

追記

続いてベクトルの外積。次の記事にて。

ベクトル-3). ベクトルの外積の意味とその計算

はじめにベクトルの内積については前回の記事を参照今回はベクトル外積。外積も使い道が明確にある。外積の定義と計算方法/計算則から。ベクトルの外積 (cross-product) 外積の定義と意味内積とは違い、外積はベクトル (P→ と...