行列とは? 主な行列とその使い方（正方行列、単位行列、逆行列、転置行列、直行行列）

はじめに
行列（matrix）とは
使い方の例（逆行列、転置行列）
1. 逆行列の使い方（例）
2. 転置行列の使い方（例）
追記

はじめに

以下特に注記が無い限り、

行列は、英大文字+太字+斜体文字で示す (例：A)
行列の成分は英小文字。
添字が2文字ついている場合は、行番号＆列番号を表し、行番号->列番号の順。
(例：a_ij <- 成分ａ, 行番号i, 列番号ｊ)

行列計算（主にベクトル計算を想定）は、工学においては様々な場面で多用されている。

単独で式を処理するより、行列の一定のルールに基づいた計算方法でまとめて処理をした方が、計算の煩雑さをかなり回避できるためである。道具として便利。

行列がわかれば道具として当然利用しやすくなる（応用も効きやすい）。まずはストレスなく使うために、行列の基礎知識から。

行列（matrix）とは

行列とその見方

行とは横筋(raw)の数字の並び、列とは縦筋(column)の数字の並び。

行と列を組み合わせた数字の群を行列（matrix）と呼ぶ。

ｍｘｎの行列とは、ｍ行の横筋の並び、ｎ列の縦筋の並びで構成される。

\(
A _{mn} = \left ( \begin{array}{c|c|ccc}
\color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}} & \ldots & \color{red}{a_{1n} }& \large{１行} \\
\hline
\color{red}{a_{21}} & a_{22} & \ldots & a_{2n}& \large{２行} \\
\hline
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
\color{red}{a_{m1}} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}& \\
\large{１列}&\large{２列}&&&
\end{array} \right ) \\
\)

行列は横一行を単位とした行ベクトル、もしくは縦一列を単位とした列ベクトルでみる。

\(
\left ( \begin{array}{c:cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & \large {行ベクトル} \\
\hdashline
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}& \\
\large{列ベクトル}&&&&
\end{array} \right ) \\
\)

ちなみに、

m次元空間のベクトル成分表示 \( \left ( a_{1}~a_{2}~\ldots~a_{m} \right ) \)、もしくは \( \left ( \begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2} \\
\vdots\\
a_{m}
\end{array} \right ) \) は、

１ｘｍ行列 \( \left ( a_{1}~a_{2}~\ldots~a_{m} \right ) \) 、もしくはｍ x １行列 \( \left ( \begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2} \\
\vdots\\
a_{m}
\end{array} \right )
\) と意味は同じ。

行列はベクトルの組合せ。

正方行列

行数と列数が等しい場合（ｍ＝ｎ）は正方行列と呼ばれる。

単位行列

単位行列とは、正方行列において、行番号と列番号が等しい成分のみが1（右下がりの対角成分のみが1），その他全ての成分が0の行列を、単位行列と呼ぶ（Eで表す）。

\(
E = \left ( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 1 \\
\end{array} \right ) \\
\)

単位行列は直行行列（後述）である。

単位行列 A に対し、

A・E = E・A = A ・・・①

この行列内の行ベクトル/列ベクトルは全て長さ”１”かつ互いに直行である事（正規直行基底）から、単位行列は、

ｎ次元の座標軸の方向ベクトルを、行と列にもつ行列

と捉える事もできる。

逆行列

逆行列とは、

正方行列 A に対して、

A・A^-1 = A^-1・A = E

となる A^-1 が一意に決まる時、A は正則行列であるといい、 A^-1 を A の逆行列という。

A・A^-1 = A^-1・A = E ・・・②

逆行列の性質としては、

1. 逆行列の逆行列でもとに戻る
(A⁻¹)⁻¹ = A ・・・③

2. 行列の積ABの逆行列は、Bの逆行列とAの逆行列の積（逆順序の積）に等しい
(A・B)⁻¹ = B⁻¹・ A⁻¹ ・・・④

ちなみに、逆行列には”行列式”というものがが付いて回る。A の行列式は、 |A| もしくは det A で表す

行列式、逆行列の中身の理解については、余因子 a～とその余因子行列 A～の理解が必要
（ただ、余因子がわかれば、あとは楽）

ちなみに、余因子行列は A・A～ = (det A) E の性質を持つように定義される事から、逆行列の定義 A^-1・A = E も使って展開すれば、

\( A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{det~A} \cdot\tilde{A} \) である。

つまり、A が逆行列をもつ条件は、行列式 det A ≠0である事が条件となる

転置行列

行列の行と列のベクトルを入れ替えた行列を、転置行列と呼ぶ。

つまり、行番号を（i）列番号（j）としてA の行列成分を aij とした時、この i , j を入れ替えた aji とした行列（行と列の入替え）を A の転置行列と呼び、A^tr 表す。

\(
A = \left ( \begin{array}{cccc}
\color{red}{a_0} & \color{red}{ a_1} & \ldots & \color{red}{a_n} \\
b_0 & b_1 & \ldots & b_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
m_0 & m_1 & \ldots & m_n \\
\end{array} \right ) \) -> \( A^{tr} = \left ( \begin{array}{cccc}
\color{red}{a_0 }& b_0 & \ldots & m_0 \\
\color{red}{a_1} & b_1 & \ldots &m_1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\color{red}{a_n} & b_n & \ldots & m_n \\
\end{array} \right ) \)

転置行列の定義（成分の入れ替えだけ）からも明らかではあるが、以下の性質をもつ

1. 転置の転置でもとに戻る
(A^tr)^tr = A ・・・⑤

2. 行列の和の転置は転置した行列の和に等しい
(A+B)^tr= A^tr + B^tr ・・・⑥

3. α倍（スカラー倍）した行列の転置は、Aを転置した行列をα倍した行列と等しい
(α A)^tr = α A^tr （α：スカラー量）・・・⑦

4. 行列の積ABを転置した行列は、Bの転置とAの転置の積（逆順序の積）に等し
(A・B)^tr= B^tr・A^tr ・・・⑧

正規直行行列

正規直行行列とは、正方行列A (n x n 行列)の転置行列 A^tr が

A・ A^tr = A^tr ・A = E

の性質を持つとき、Aを直行行列とよぶ

直行行列は、以下の性質を満たす。同値のため一つをみたせば直行行列（一つ確認できればよい）

1. 直行行列Aは、転置行列と逆行列が等しい
A^-1 ＝ A^tr ・・・⑨

∵ 逆行列の定義（ A・A^-1 = A^-1・A = E ）から、Aが直行行列の場合、A^tr は A の逆行列

2. A のｎ本の行ベクトルが正規直行基底をなす
（互いに直行、大きさ１）

3. A のｎ本の列ベクトルが正規直行基底をなす
（互いに直行、大きさ１）

4. 任意の実数ベクトル x→ の大きさと、Aによる変換ベクトル Ax→ の大きさは等しい
|Ax→| = |x→|・・・⑩

5. 任意ベクトル x→ とｙ→の内積と、Aによる変換ベクトル Ax→、Aｙ →の内積は等しい。
Ax→・Aｙ →= x→ ・ｙ→・・・⑪

6. 直行行列の積も直行行列

A,B を直行行列とすると
A・B・(A・B)^tr = E ・・・⑫
∵ A・B・(A・B)^tr = A・(B・B^tr)・A^tr =A・A^tr= E

単位行列以外にも、回転行列（別記）が該当する。

正規直行基底については

ベクトル-4). 座標の定義：ベクトルの正規直行性と内積を利用してみる（回転行列の入り口の前）

空間の基底となるｎ本すべてのベクトルがお互いに直行し、かつ正規性を持つ場合、このｎ本のベクトルをｎ次元空間の正規直行基底という。座標軸とベクトルを組み合わせるのに使える（内積を使った座標値の算出）のだが、もうちょっと展開すれば、座標軸変換（回転行列）の入り口までの流れが、これを起点につかむ事ができる。

使い方の例（逆行列、転置行列）

逆行列の使い方（例）

行列の演算にわり算はない。ただ、逆行列 A^-1 を使った演算が、それに近い使い方となる。

例えばあるベクトルｘ→ が行列 A の変換により y→ になったとする。

ｘ→ と y→ の関係式は

y→ = Aｘ→

逆に y→ から x→ を求めるには、逆行列 A^-1 を両辺の左から掛け、⑥式を適用する。
（四則演算のわり算で逆数をかけるのに近い）

つまり、

A^-1 y→ = A^-1 ・A ｘ→ = ｘ→

よって

ｘ→ = A^-1 y→

（方程式の解を求める時にも、よく見るかと）

ただ行列の積の性格（A・B≠B・A）上、逆行列を掛ける”順序”は、左右両辺同じ方向から掛けなければならない。

参考までに、\(A \) が \(
A = \left ( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right ) \) の正則行列（2×2）の時、行列式、余因子行列と逆行列は、

\( det~A = ad – bc \) 、\( \tilde{A} =\left ( \begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a
\end{array} \right ) \) より、

\( A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{ad – bc} \cdot
\left ( \begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a
\end{array} \right ) \) となる。

力学で使うのはほとんどの場合 3×3 行列までであるが、この行列の逆行列の成分計算は少し複雑になるため、計算間違い防止の意味も含め、ほとんどの場合ソフトに計算させる場合が多い。

ただ手計算が必要であっても、座標軸変換等での行列は正規直行行列での行列利用になるため、まじめに計算せずに、次章の転置行列から逆行列を求める場合が多い。

-> 逆行列＆行列式のこれ以上の詳細は別記事（予定）で。。

転置行列の使い方（例）

転置行列が道具として使いやすいのは、特にその行列が正規直行行列の場合。

逆行列計算が簡単になる。行列をひっくり返すだけ（ベクトル回転させる時によく使う）。

正規直行行列の⑧の性質を使っている。

直行行列Aは、転置行列と逆行列が等しい
： A^-1 ＝ A^tr ・・・⑧

一つの直行行列の場合には、大したメリットは感じないが、複数の正規直行行列を変換するような場合（行列の積）に有用なのである。

正規直行行列同士の積は正規直行行列である事（⑪式）も使って、その複雑な成分計算結果を、ただひっくり返すだけで逆行列にする事ができる。

楽である。

例えば、あるベクトルｘ→ が

θ(rad)回転
-> 続いてφ(rad)回転

した場合の回転行列、Ｒ_φ・Ｒ_θで考えてみる。
(Ｒ_θ Ｒ_φは共に正規直行行列、よってＲ_φ・Ｒ_θ も正規直行行列)

二つの回転後のベクトルを y→ とすると、

x→ を y→ に変換するには、

y→ = Ｒ_φ Ｒ_θｘ→ ・・・⑬

となるが、逆に y→ から x→ を求めるとなると、Ｒ_φ、Ｒ_θ の逆行列が必要になる。

が、まじめに計算する必要はない。

Ｒ_φ・Ｒ_θ の成分計算後であれば、必要となる逆行列に転置行列を代入して

ｘ→ = (Ｒ_φＲ_θ)^-1 y→ より
= ( Ｒ_φＲ_θ )^tr y→ ・・・⑭

<- 計算したＲ_φＲ_θ の成分の行と列をひっくり返すだけ

Ｒ_φ、Ｒ_θ を個別に処理するのであれば、

(Ｒ_φ)^-1 、 (Ｒ_θ )^-1 の逆行列を順にかけ

ｘ→ = (Ｒ_θ )^-1 (Ｒ_φ)^-1 y→ より
= (Ｒ_θ )^tr (Ｒ_φ)^tr y→ ・・・⑮

<- Ｒ_φＲ_θ 個別に行と列をひっくり返して、その後成分計算

当たり前ではあるが、（⑦式より）⑭式と⑮式は等しい。

複数の行列の積を手計算で求めた後に、その逆行列成分を求める。。。となると気が遠くなるが、正規直行行列であれば心配無用。

転置行列が逆行列となる
（行と列をひっくり返せばよいだけ）。

追記

さて、続いてはこの行列自体の和、差、積について（割り算はないが、逆行列による積が似た感じの使い方になる）。