行列とは? 主な行列とその使い方（正方行列、単位行列、逆行列、転置行列、直行行列）

はじめに

以下特に注記が無い限り、

行列は、英大文字+太字+斜体文字で示す (例：A)
行列の成分は英小文字。
添字が2文字ついている場合は、行番号＆列番号を表し、行番号->列番号の順。
(例：a_ij <- 成分ａ, 行番号i, 列番号ｊ)

行列計算は、工学においては様々な場面で多用されている。

複雑な計算を単純化して表す事ができ、また計算時には一気にまとめて処理できる。道具としてとても便利。

まずは行列の基礎知識から

行列（matrix）とは

行列とその見方

横一列(raw)の数字の並びを行と呼び、縦一列(column)の数字の並びを列と呼ぶ。

この行と列を組み合わせた数字の群を行列（matrix）と呼ぶ。

ｍｘｎの行列とは、ｍ行とｎ列の数字の群で構成される。

\(
A _{mn} = \left ( \begin{array}{c|c|ccc}
\color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}} & \ldots & \color{red}{a_{1n} }& \large{１行} \\
\hline
\color{red}{a_{21}} & a_{22} & \ldots & a_{2n}& \large{２行} \\
\hline
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
\color{red}{a_{m1}} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}& \\
\large{１列}&\large{２列}&&&
\end{array} \right ) \\
\)

行列は行単位（横）、もしくは列単位（縦）のベクトルとして見る癖をつけておくとイロイロと理解しやすくなるので念のための追記。

つまり、

\(
\left ( \begin{array}{c:cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & \large {行ベクトル} \\
\hdashline
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}& \\
\large{列ベクトル}&&&&
\end{array} \right ) \\
\)

これは、

m次の座標（ベクトル）の成分表示 \( \left ( a_{1}~a_{2}~\ldots~a_{m} \right ) \)、もしくは \( \left ( \begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2} \\
\vdots\\
a_{m}
\end{array} \right ) \) は、

１ｘｍ行列 \( \left ( a_{1}~a_{2}~\ldots~a_{m} \right ) \) 、もしくはｍ x １行列 \( \left ( \begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2} \\
\vdots\\
a_{m}
\end{array} \right )
\) と見ればよい。行列はベクトルの組合せ。

知っておいた方が行列

あれ？○○行列ってなんだっけ？の時の備忘録。

正方行列

行数と列数が等しい場合（ｍ＝ｎ）は正方行列と呼ばれる。

単位行列

単位行列とは、正方行列において、行番号と列番号が等しい成分のみが1（右下がりの対角成分のみが1），その他全ての成分が0の行列を、単位行列と呼ぶ（Eで表す）。

\(
E = \left ( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 1 \\
\end{array} \right ) \\
\)

単位行列は直行行列（後述）である。

単位行列 A に対し、

A・E = E・A = A ・・・①

この行列内の行ベクトル/列ベクトルは全て長さ”１”かつ互いに直行である事（正規直行基底）から、単位行列は、

ｎ次元の座標軸の方向ベクトルを、行と列にもつ行列

と捉える事もできる。

逆行列

逆行列とは、

正方行列 A に対して、

A・A^-1 = A^-1・A = E

となる A^-1 が一意に決まる時、A は正則行列であるといい、 A^-1 を A の逆行列という。

A・A^-1 = A^-1・A = E ・・・②

逆行列の性質としては、

1. 逆行列の逆行列でもとに戻る
(A⁻¹)⁻¹ = A ・・・③

2. 行列の積ABの逆行列は、Bの逆行列とAの逆行列の積（逆順序の積）に等しい
(A・B)⁻¹ = B⁻¹・ A⁻¹ ・・・④

ちなみに、逆行列には”行列式”というものがが付いて回る。A の行列式は、 |A| もしくは det A で表す

行列式、逆行列の中身の理解については、余因子 a～とその余因子行列 A～の理解が必要
（ただ、余因子がわかれば、あとは楽）

ちなみに、余因子行列は A・A～ = (det A) E の性質を持つように定義される事から、逆行列の定義 A^-1・A = E も使って展開すれば、

\( A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{det~A} \cdot\tilde{A} \) である。

つまり、A が逆行列をもつ条件は、行列式 det A ≠0である事が条件となる

転置行列

行列の行と列のベクトルを入れ替えた行列を、転置行列と呼ぶ。

つまり、行番号を（i）列番号（j）としてA の行列成分を aij とした時、この i , j を入れ替えた aji とした行列（行と列の入替え）を A の転置行列と呼び、A^tr 表す。

\(
A = \left ( \begin{array}{cccc}
\color{red}{a_0} & \color{red}{ a_1} & \ldots & \color{red}{a_n} \\
b_0 & b_1 & \ldots & b_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
m_0 & m_1 & \ldots & m_n \\
\end{array} \right ) \) -> \( A^{tr} = \left ( \begin{array}{cccc}
\color{red}{a_0 }& b_0 & \ldots & m_0 \\
\color{red}{a_1} & b_1 & \ldots &m_1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\color{red}{a_n} & b_n & \ldots & m_n \\
\end{array} \right ) \)

転置行列の定義（成分の入れ替えだけ）からも明らかではあるが、以下の性質をもつ

1. 転置の転置でもとに戻る
(A^tr)^tr = A ・・・⑤

2. 行列の和の転置は転置した行列の和に等しい
(A+B)^tr= A^tr + B^tr ・・・⑥

3. α倍（スカラー倍）した行列の転置は、Aを転置した行列をα倍した行列と等しい
(α A)^tr = α A^tr （α：スカラー量）・・・⑦

4. 行列の積ABを転置した行列は、Bの転置とAの転置の積（逆順序の積）に等し
(A・B)^tr= B^tr・A^tr ・・・⑧

正規直行行列

正規直行行列とは、正方行列A (n x n 行列)の転置行列 A^tr が

A・ A^tr = A^tr ・A = E

の性質を持つとき、Aを直行行列とよぶ

直行行列は、以下の性質を満たす。同値のため一つをみたせば直行行列（一つ確認できればよい）

1. 直行行列Aは、転置行列と逆行列が等しい
A^-1 ＝ A^tr ・・・⑨

∵ 逆行列の定義（ A・A^-1 = A^-1・A = E ）から、Aが直行行列の場合、A^tr は A の逆行列

2. A のｎ本の行ベクトルが正規直行基底をなす
（互いに直行、大きさ１）

3. A のｎ本の列ベクトルが正規直行基底をなす
（互いに直行、大きさ１）

4. 任意の実数ベクトル x→ の大きさと、Aによる変換ベクトル Ax→ の大きさは等しい
|Ax→| = |x→|・・・⑩

5. 任意ベクトル x→ とｙ→の内積と、Aによる変換ベクトル Ax→、Aｙ →の内積は等しい。
Ax→・Aｙ →= x→ ・ｙ→・・・⑪

6. 直行行列の積も直行行列

A,B を直行行列とすると
A・B・(A・B)^tr = E ・・・⑫
∵ A・B・(A・B)^tr = A・(B・B^tr)・A^tr =A・A^tr= E

単位行列以外にも、回転行列（別記）が該当する。

正規直行基底については

ベクトル-4). 座標の定義：ベクトルの正規直行性と内積を利用してみる（回転行列の入り口の前）

空間の基底となるｎ本すべてのベクトルがお互いに直行し、かつ正規性を持つ場合、このｎ本のベクトルをｎ次元空間の正規直行基底という。座標軸とベクトルを組み合わせるのに使える（内積を使った座標値の算出）のだが、もうちょっと展開すれば、座標軸変換（回転行列）の入り口までの流れが、これを起点につかむ事ができる。

ちょっとややこしい感じになってきたので、次のページにて、逆行列＆転置行列の基本的な使い方（例）を忘れないように。。