はじめに
ベクトル/行列の計算を見ると、”正規直行性”、”正規直行基底” の単語がよく出てくる。
ただ、あまり意識せずに読み飛ばしてしまうことが多い。。
この部分少しこだわると、なんだそういう事ね。。
と、ずいぶんと簡単に思えることがふえるから不思議（回転行列とか）。
座標値は、座標軸を正規直行性ベクトルとみなして、任意ベクトルとの内積により算出されているとみる事ができる。
これを、ちょっと応用すれば座標軸変換に展開できる。これが座標系の変換行列へとつながる。
まずはベクトルの正規性から。
正規性（nomality）とは
ベクトルが正規性を持つとは、そのベクトルの長さ(大きさ)が”１”である事を指す。
また逆にベクトルを正規化するとは、そのベクトルの長さを”１”にする事。
つまり
である。
また、正規化されて長さが”1”となったベクトルは単位ベクトルと呼ばれる。式で書けば|u| ＝１。
直行性 （orthogonality）とは
ベクトルが直行性をもつとは、その字の通り
-> これは、内積が”０”である事で確認できる。
（ベクトルａ、b であれば、ａ・b = 0）
ちなみに、直行ベクトルを求める”ベクトルの直行化”についてはここでは割愛。
正規直行性 / 正規直行基底とは
ｎ次元空間は、基底となるｎ個のベクトルにより定める事ができる。
（独立した（＝向きの異なる）ｎ個のベクトル）
つまり、空間の次元を決めるモトになるベクトルのセット。
正規直行性と座標
では、正規性と直行性の二つをあわせた正規直行性が、いったい何の役に立つか？
つまり、互いに直行する長さ１のベクトルセットの使い道（正規性＆直行性）。
-> 先に話の結びを書くと、 長さが１のベクトルが互いに直行している事から、その次元に方眼紙のような目盛づけをする事ができる。
つまり、座標軸。 <- 空間上の位置を示せるようになるのである。
空間上にて正規直行性を確保した軸で座標系を設定すれば、（ベクトルの内積を使い）その設定した座標系上の任意の点の座標値が算出できるようになる。
以下にその話を
正規性の使い方 （ベクトルを使った座標値表示）
直行性は後回しにして、まずは入り口として正規性の使い方から。
一次元を例にとり説明（数直線をイメージ：ベクトル方向は1方向のみ）。
任意のベクトルを a とし、単位ベクトルを u とする
この時、a はu のスカラー倍 s で表現できる。
a = su ・・・①
この時 u 方向に座標軸を設定し原点Oにa の始点をとれば、①の スカラー量 s はその座標軸上の a の座標値になる（ ∵ | u |=1 ）。
さて、これに直行性を加えて二次元に。。
正規直行性の使い方 （座標系におけるベクトル利用）
何もない平面（二次元）にベクトルを使って座標軸を作ってみる。
まず何もない平面上に一点Oをとり原点とし、その点を交点にして直行する二つの軸を引き、X0軸とY0軸とする。
これをO-X0 Y0 座標系とよぶ（平面上で定義される最初の基準）。
->平面の基準点と方眼紙の方向がきまる。
次に各軸の目盛りづけ。
互いに直行する二つの単位ベクトル i0 , j0 (正規直行ベクトル（正規直行基底）) を使って、i0 をX軸方向、j0 をY軸方向に一致させる（|i0| =1, |j0| =1）。この時、i0 , j0 の座標値は①を使い、
\( \vec{i_0}= \left ( \begin{array}{c}
x_{0}\\
y_{0} \\
\end{array} \right )
= \left ( \begin{array}{c}
1\\
0\\
\end{array} \right ) \) , \( \vec{j_0}= \left ( \begin{array}{c}
x_{0}\\
y_{0} \\
\end{array} \right )
= \left ( \begin{array}{c}
0\\
1\\
\end{array} \right ) \) ・・・②
となる。
さて、 O-X0Y0上に任意の点Aをとり, 原点を始点、点Aを終点とするベクトルを OA = a とする
a を、 i0と j0 のベクトルの足し算で表せば、
\( \vec{a}=a_{x0} ~\vec{i}_0+a_{y0} ~\vec{j}_0 \)・・・③
（ax0 、ay0：スカラー量）
O-X0Y0 座標軸は、正規直行ベクトルの i0と j0 と一致しているため、 点Ａの座標は③式の係数がそのまま
\( \left ( \begin{array}{c}
x_{0}\\
y_{0} \\
\end{array} \right )
= \left ( \begin{array}{c}
a_{x0}\\
a_{y0}\\
\end{array} \right ) \) ・・・④
となる。③式をあらためて書けば
\( \vec{a}=\left ( \begin{array}{c}
x_{0}\\
y_{0} \\
\end{array} \right )= a_{x0}\left ( \begin{array}{c}
1\\
0\\
\end{array} \right ) +
a_{y0}\left ( \begin{array}{c}
0\\
1\\
\end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c}
a_{x0}\\
a_{y0}\\
\end{array} \right ) \) ・・・⑤
要は座標軸方向を示すベクトルが互いに直角（正規直行基底）であれば、ベクトルの足し算に使われる係数 ax0 と ay0 と点Aの座標値（ax0 , ay0）と一致する。
座標軸は”直行”しているので、各軸の座標値が a のそれぞれの軸への投影長となっている事から、当たり前ではあるが。。。
<- とりあえずこれを頭の片隅にいれておく。（当たり前とは思わずに、、、）
念のため、座標軸が直行していない場合は以下。
ia , ja を直行していない座標系 O-XaYa の基底ベクトルとした場合、この O-XaYa での点Ａの座標(axa aya)は、ベクトルの足し算
\( \vec{a}=a_{x0} ~\vec{i}_a+a_{y0} ~\vec{j}_a \)
の係数 ax0 、ay0 とは、一致しない（右図）。
つまり、a の座標軸への投影長は、ベクトルの足し算には使えない。。
さて、投影長を算出すると言えば、、、、ベクトルの内積！
-> 思い出さなければこちらを
正規直行性と内積を使った座標値算出
ベクトルの内積を使った座標値の算出。
正規直行している二つのベクトルi0 、j0（|i0 | =|j0 | = 1 ）と aとの内積の求めれば
a・i0
=|a| |i0 | cosα0
=|a|cosα0 = ax0
a・j0
=|a| |j0 | cosβ0
=|a|cosβ0 = ay0
（α0：a とi0 のなす角、β0： a とj0 のなす角 ）
つまり
よって、内積をつかって座標値を表現すれば、
\( \left ( \begin{array}{c}
x_{0}\\
y_{0} \\
\end{array} \right )
= \left ( \begin{array}{c}
a_{x0}\\
a_{y0}\\
\end{array} \right )
= \left ( \begin{array}{c}
\vec{a}\cdot \vec{i}_0\\
\vec{a}\cdot \vec{j}_0\\
\end{array} \right ) \) ・・・⑥
で表せる。
これは内積のもつ意味の一端であり、この特長を使って座標の算出に利用できる。
正規直行性を使った座標軸変換（の入り口）
再度、上の例では正規直行ベクトルの i0と j0 に X0Y0 軸方向を一致させているため
\( \vec{i}_0= \left ( \begin{array}{c}
x_{0}\\
y_{0} \\
\end{array} \right )
= \left ( \begin{array}{c}
1\\
0\\
\end{array} \right ) \) , \( \vec{j}_0= \left ( \begin{array}{c}
x_{0}\\
y_{0} \\
\end{array} \right )
= \left ( \begin{array}{c}
0\\
1\\
\end{array} \right ) \)
である。
さて、この内積は、”任意のベクトルを単位ベクトル側への投影長を算出しているだけ”、である事を踏まえれば、X0Y0 軸以外の任意の軸にも使う事ができる。
例えば、、
O-X0Y0 座標系上に各軸方向と向きの異なる i1と j 1 （二つは正規直行）があり、これを使って新しい座標系 O-X1Y1 を設定したとする。
この時、
O-X1Y1上の任意ベクトル a の座標値 \( \left ( \begin{array}{c}
x_{1}\\
y_{1} \\
\end{array} \right ) \) は、
\( \left ( \begin{array}{c}
x_{1}\\
y_{1} \\
\end{array} \right )
= \left ( \begin{array}{c}
\vec{a}\cdot \vec{i}_1\\
\vec{a}\cdot \vec{j}_1\\
\end{array} \right ) \) ・・・⑦
である。
つまり、内積計算の各軸の単位ベクトルを入れ替えるだけで 新たな座標系上のO-X1Y1 上の座標値が算出できる。
これをつかむと、正規直行基底で構成されている行列の計算（ 座標変換（回転行列））の背景が見えてくる。
というのも、⑦式を行列で組みなして角度情報を加えると、回転行列が表れる。
つまり
O-X0Y0とO-X1Y1 のなす角がα とすれば（O-X0Y0を反時計周りに角度αだけ回転させた座標系がO-X1Y1）、O-X0Y0から見たO-X1Y1 座標系の基底ベクトル i1と j 1は、\( \vec{i}_1= \left ( \begin{array}{c}
cos α\\
sin α\\
\end{array} \right ) \) , \( \vec{j}_1= \left ( \begin{array}{c}
-sin α\\
cos α\\
\end{array} \right ) \) であり、また \( \vec{a}= \left ( \begin{array}{c}
x_{0}\\
y_{0} \\
\end{array} \right ) \) を使えば、⑦式の内積の成分計算を行えば
\( \left ( \begin{array}{c}
x_{1}\\
y_{1} \\
\end{array} \right )
= \left ( \begin{array}{c}
cos α\cdot x_{0}+sin α\cdot y_{0}\\
-sin α\cdot x_{0}+cos α\cdot y_{0}\\
\end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cc}
cos α&sin α\\
-sin α&cos α \\
\end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c}
x_{0}\\
y_{0} \\
\end{array} \right ) \)
にて、よく見る回転行列（座標変換行列）が表れる。それぞれの意味するトコロは、ざざっと
詳細は以下にて
