行列 4). 2次元と3次元の座標変換と回転行列 オイラー角の入り口まで

空間（三次元）上の座標変換、回転行列に入る前に

まず、回転について。

平面上の回転（2次元）の場合、回転の中心は点である。当然傾きはない。
（回転の中心軸は平面に垂直であるという前提条件が含まれているとみてもよい。）

これは、座標軸平面上（XY平面上）で回転が行われる事を意味し（座標平面と回転の平面が一致する）、このおかげで二次元の回転では、回転角 α₀の一つで簡単に回転を表現できる。

ところが、3次元上の回転ではそうはいかない。

というのも、二次元と同様に三次元上の実際の回転においても、一つの中心軸周りに一つの回転角で回転するにもかかわらず、その回転の中心軸が必ずしも座標平面と垂直にはならない事が原因。

これにより軸変換はともかく、回転行列にはちょいと細工が必要。
ちなみに、3次元上の回転は、以下の細工が主に使われる。

もちろん変換後の軸の方向余弦を使えば、三次元でも簡単に軸変換は表記可能。オイラー角の入り口となる。

とりあえず、今回は、この入り口までを以下にて。
というのも、平面（2次元の2ｘ2行列 ）と同じ流れで軸が一つ増えるだけ。

追記レベルの話。

三次元：方向余弦を使った座標変換（３ｘ３行列）

空間上(三次元)の二つの座標軸

共通の原点Oをもつ二つの座標系 O-X₀Y₀Z₀ と O-X₁Y₁Z₁ を考える。

座標軸も同様に右手右ねじ系とする。

ここで、2次元に対してZ軸が加わるので、その方向の単位ベクトル k_n→（n=0,1) を追加して、

• X₀軸、Y₀軸、Z₀軸方向の各単位ベクトル
  ：i₀→ 、j₀→、k₀→
• X₁軸、Y₁軸、Z₁軸方向の各単位ベクトル
  ：i₁→ 、j₁→、k₁→

とする。

当然この各座標系の i→_ｎ、j→_ｎ、ｋ→_ｎ （n=0,1)は互いに直行
(つまり正規直行ベクトル)

空間上(三次元)の方向余弦

\( \small{O-X_0Y_0Z_0} \) から見た \(\small{X_1Y_1Z_1} \) 各軸 の方向余弦

二つの座標系 O-X₀Y₀Z₀ と O-X₁Y₁Z₁ の各軸について 、お互いのなす角を

• X₁軸がX₀軸 、Y₀軸、Z₀軸となす角
  ：α₀、β₀、γ₀
• Y₁軸がX₀軸 、Y₀軸、Z₀軸となす角
  ：α₁、β₁、γ₁
• Z₁軸がX₀軸 、Y₀軸、Z₀軸となす角
  ：α₂、β₂、γ₂

二次元と同様に、この角度を使って i₁→ 、j₁→、k₁→ を余弦で表すと

\( \overrightarrow{i_1} = \cos\alpha_0 \cdot \overrightarrow{i_0}+\cos\beta_0 \cdot \overrightarrow{j_0} + \cos\gamma_0 \cdot \overrightarrow{k_0} \)
\( \overrightarrow{j_1} = \cos\alpha_1 \cdot \overrightarrow{i_0}+\cos\beta_1 \cdot \overrightarrow{j_0} + \cos\gamma_1 \cdot \overrightarrow{k_0} \)
\( \overrightarrow{k_1} = \cos\alpha_2 \cdot \overrightarrow{i_0}+\cos\beta_2 \cdot \overrightarrow{j_0} + \cos\gamma_2 \cdot \overrightarrow{k_0} ・・・⑮ \)

この時方向余弦はそれぞれ、

\( \overrightarrow{i_1} = \small{\left ( \begin{array}{c} \cos{\alpha_0} \\ \cos{\beta_0} \\ \cos{\gamma_0} \end{array} \right )}、 \overrightarrow{j_1} = \small{\left ( \begin{array}{c} \cos{\alpha_1} \\ \cos{\beta_1} \\ \cos{\gamma_1} \end{array} \right )}、 \overrightarrow{k_1} = \small{\left ( \begin{array}{c} \cos{\alpha_2} \\ \cos{\beta_2} \\ \cos{\gamma_2} \end{array} \right )} ・・・⑯ \)

i₁→ 、j₁→、k₁→ は常に大きさ1、角度を任意とすれば、その軌跡は”球”を描く。

つまり、これらの方向余弦は以下の性質をもつ。

cos²α₀+cos²β₀+cos²γ₀ = 1
cos²α₁+cos²β₁+cos²γ₁ = 1
cos²α₂+cos²β₂+cos²γ₂ = 1

\( \small{O-X_1Y_1Z_1 } \) から見た \( \small{X_0Y_0Z_0 }\) 各軸 の方向余弦

逆に、\( O-X_1Y_1Z_1\) から見た \(X_0Y_0Z_0 \) 軸を表す。

二次元と同様に 角度を設定しなおせば、

• X₀軸が X₁軸 、Y₁軸、Z₁軸となす角
  ：α₀、α₁、α₂
• Y₀軸が X₁軸 、Y₁軸、Z₁軸となす角
  ：β₀、β₁、β₂
• Z₀軸が X₁軸 、Y₁軸、Z₁軸となす角
  ：γ₀、γ₁、γ₂

i₀→ 、j₀→、k₀→ は

\( \overrightarrow{i_0} = \cos\alpha_0 \cdot \overrightarrow{i_1}+\cos\alpha_1 \cdot \overrightarrow{j_1} + \cos\alpha_2 \cdot \overrightarrow{k_1} \)
\( \overrightarrow{j_0} = \cos\beta_0 \cdot \overrightarrow{i_1}+\cos\beta_1 \cdot \overrightarrow{j_1} + \cos\beta_2 \cdot \overrightarrow{k_1} \)
\( \overrightarrow{k_0} = \cos\gamma_0 \cdot \overrightarrow{i_1}+\cos\gamma_1 \cdot \overrightarrow{j_1} + \cos\gamma_2 \cdot \overrightarrow{k_1} ・・・⑰ \)

その方向余弦は、

\( \overrightarrow{i_0} = \small{\left ( \begin{array}{c} \cos{\alpha_0} \\ \cos{\alpha_1} \\ \cos{\alpha_2} \end{array} \right )}、 \overrightarrow{j_0} =\small{ \left ( \begin{array}{c} \cos{\beta_0} \\ \cos{\beta_1} \\ \cos{\beta_2} \end{array} \right )}、 \overrightarrow{k_0} = \small{\left ( \begin{array}{c} \cos{\gamma_0} \\ \cos{\gamma_1} \\ \cos{\gamma_2} \end{array} \right ) }・・・⑱ \)

同様に

cos²α₀+cos²α₁+cos²α₂=1
cos²β₀+cos²β₁+cos²β₂=1
cos²γ₀+cos²γ₁+cos²γ₂=1

の性質ももつ。

行列化 : 3ｘ3行列の座標軸変換

以下、これも二次元と同様の流れ。

つまり、空間上の任意の点Aに対して原点Oを始点に持つベクトル OA→ を考える。

• O-X₀Y₀Z₀上のOA→成分：(a_x0 a_y0 a_z0)
• O-X₁Y₁Z₁上のOA→成分：(a_x1 a_y1 a_z1)

とする。点Aは同じ、つまり

OA→ = a_x0・i₀→+ a_y0・j₀→+ a_z0・k₀→ ・・・⑲
OA→ = a_x1・i₁→+ a_y1・j₁→+a_z1・k₁→ ・・・⑳

二次元と同じ式展開で⑲式の i₀→ 、j₀→、k₀→ を⑰式で置き換える

OA→=a_x0・i₀→ + a_y0・j₀→+ a_z0・k₀→

= a_x0(cosα₀・i₁→ + cosα₁・j₁→ + cosα₂・ｋ₁→)
+ a_y0(cosβ₀・i₁→ + cosβ₁・j₁→ + cosβ₂・ｋ₁→ )
+ a_z0(cosγ₀・i₁→ + cosγ₁・j₁→ + cosγ₂・ｋ₁→ )

並び替えて
= (a_x0・cosα₀+a_y0・cosβ₀+a_z0・cosγ₀) i₁→
+(a_x0・cosα₁+a_y0・cosβ₁+a_z0・cosγ₁) j₁→
+(a_x0・cosα₂+a_y0・cosβ₂+a_z0・cosγ₂)ｋ₁→ ・・・㉑

㉑式が⑳式と同一 （点Aが同一より）。

a_x1・i₁→ + a_y1・j₁→ + a_z1・k₁→
=(a_x0・cosα₀ + a_y0・cosβ₀ + a_z0・cosγ₀) i₁→
+(a_x0・cosα₁ + a_y0・cosβ₁ + a_z0・cosγ₁) j₁→
+(a_x0・cosα₂ + a_y0・cosβ₂ + a_z0・cosγ₂)ｋ₁→

よって

a_x1=a_x0・cosα₀+a_y0・cosβ₀+a_z0・cosγ₀
a_y1=a_x0・cosα₁+a_y0・cosβ₁+a_z0・cosγ₁
a_z1=a_x0・cosα₂+a_y0・cosβ₂+a_z0・cosγ₂

これを行列化

\(\small{\left ( \begin{array}{c} a_{x1} \\ a_{y1} \\ a_{z1} \end{array} \right ) }
= \small{\left ( \begin{array}{ccc}
\cos\alpha_0 & \cos\beta_0 & cos\gamma_0 \\
\cos\alpha_1 & \cos\beta_1 & cos\gamma_1 \\
\cos\alpha_2 & \cos\beta_2 & cos\gamma_2
\end{array} \right ) }
\small{\left ( \begin{array}{c}
a_{x0} \\ a_{y0} \\ a_{z0}
\end{array} \right ) }・・・㉒ \)

この行列部分

\(R =\small{ \left( \begin{array}{ccc}
\cos\alpha_0 & \cos\beta_0 & cos\gamma_0 \\
\cos\alpha_1 & \cos\beta_1 & cos\gamma_1 \\
\cos\alpha_2 & \cos\beta_2 & cos\gamma_2
\end{array} \right ) }・・・㉓ \)

が3次元の座標変換を行う行列。

２次元と同様に変換後の各軸の方向余弦が行ベクトルで並ぶ。

三次元：回転行列への展開

一つの座標軸を中心に座標系を回転させる時の回転行列

㉒式の行列 R の各行ベクトルは、上から順に変換後の X₁->Y₁->Z₁ 軸の方向余弦

Z軸廻りのψ回転

まず、Z軸廻りにψ回転させる。

１行目の方向余弦の角度α_０、β_０、γ_０は、定義より変換前のX₀軸 、Y₀軸 、Z₀軸と変換後のX₁軸のなす角となる（図４)。つまり、

\( \alpha_0=\psi \)、\( \beta_0=\displaystyle\frac{\pi}{2}-\psi \)、\( \gamma_0=\displaystyle\frac{\pi}{2} \)

同様に、2行目の行ベクトル（Y₁軸となす角）は

\( \alpha_1=\displaystyle\frac{\pi}{2}+\psi \)、\( \beta_1=\psi \)、\( \gamma_1=\displaystyle\frac{\pi}{2} \)

3行目の行ベクトル （Z₁軸となす角）は、

\( \alpha_2=\displaystyle\frac{\pi}{2} \)、\( \beta_2=\displaystyle\frac{\pi}{2} \)、\( \gamma_2=0 \)

この時の回転行列を R_ψ とすれば

\(\begin{align}
R_\psi &=\small{ \left( \begin{array}{ccc}
\cos\alpha_0 & \cos\beta_0 & cos\gamma_0 \\
\cos\alpha_1 & \cos\beta_1 & cos\gamma_1 \\
\cos\alpha_2 & \cos\beta_2 & cos\gamma_2
\end{array} \right ) }
=\small{ \left( \begin{array}{ccc}
\cos\psi & \cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\psi ) & cos\displaystyle\frac{\pi}{2} \\
\cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\psi) & \cos\psi & cos\displaystyle\frac{\pi}{2} \\
\cos\displaystyle\frac{\pi}{2} & \cos\displaystyle\frac{\pi}{2} & cos 0
\end{array} \right )} \\[8pt]
&=\small{ \left( \begin{array}{ccc}
\cos\psi & \sin\psi & 0 \\
-\sin\psi & \cos\psi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right )} ・・・㉔
\end{align} \)

そのまま続いてY軸廻り、X軸廻り。

Y軸廻りのθ回転

Y軸廻りにθ回転させる回転行列R_θ はR_ψと同様に算出すれば（図5）

\(\begin{align}
R_\theta &= \small{\left( \begin{array}{ccc}
\cos\alpha_0 & \cos\beta_0 & cos\gamma_0 \\
\cos\alpha_1 & \cos\beta_1 & cos\gamma_1 \\
\cos\alpha_2 & \cos\beta_2 & cos\gamma_2
\end{array} \right ) }
= \small{\left( \begin{array}{ccc}
\cos\theta & cos\displaystyle\frac{\pi}{2} & \cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\theta )\\
\cos\displaystyle\frac{\pi}{2} & cos 0 & \cos\displaystyle\frac{\pi}{2}\\
\cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}- \theta) & cos\displaystyle\frac{\pi}{2} & \cos\theta
\end{array} \right ) }\\[8pt]
&=\small{ \left( \begin{array}{ccc}
\cos\theta & 0 & -\sin\theta \\
0 & 1 & 0 \\
\sin\theta & 0 & \cos\theta
\end{array} \right )} ・・・㉕
\end{align} \)

X軸廻りのφ回転

X軸廻りにφ回転させる回転行列R_φ も R_ψ と同様に求めれば（図6）

\(\begin{align}
R_\phi &= \small{\left( \begin{array}{ccc}
\cos\alpha_0 & \cos\beta_0 & cos\gamma_0 \\
\cos\alpha_1 & \cos\beta_1 & cos\gamma_1 \\
\cos\alpha_2 & \cos\beta_2 & cos\gamma_2
\end{array} \right ) }
= \small{\left( \begin{array}{ccc}
cos 0 &\cos\displaystyle\frac{\pi}{2} & \cos\displaystyle\frac{\pi}{2}\\
cos\displaystyle\frac{\pi}{2} &\cos\phi & \cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\phi )\\
cos\displaystyle\frac{\pi}{2} &\cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\phi) & \cos\phi
\end{array} \right )} \\[8pt]
&= \small{\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 &\cos\phi & \sin\phi \\
0 & -\sin\phi & \cos\phi
\end{array} \right )} ・・・㉖
\end{align} \)

この㉔、㉕、㉖式が、オイラー角へ続く。