行列 4). 2次元と3次元の座標変換と回転行列 オイラー角の入り口まで

回転行列への展開：二次元(平面)

座標系の回転を示す回転行列

⑪式の角度をα₀でまとめる。

座標軸が直行であること、また軸同士の関係から

• β₀ ＝ π/２ – α₀
• α₁ = π/２ + α₀
• β₁ = π/２ – β₀ = α₀

である。

これを使えばR_α は、

\( \begin{align}
R_\alpha &=\left ( \begin{array}{cc} \cos\alpha_0&\cos\beta_0 \\ \cos\alpha_ 1 & \cos\beta_1 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cc} \cos\alpha_0&\cos ( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha_0 ) \\ \cos ( \displaystyle\frac{\pi}{2}+\alpha_0 ) & \cos\alpha_0 \end{array} \right ) \\[8pt]
&= \left ( \begin{array}{cc} \cos\alpha_0&\sin \alpha_0 \\ -\sin \alpha_0 & \cos\alpha_0 \end{array} \right ) ・・・⑫
\end{align} \)

これが 回転角 α₀ の回転行列。つまり⑩式は

\(\left ( \begin{array}{c} a_{x1} \\ a_{y1} \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cc} \cos\alpha_0&\sin \alpha_0 \\ -\sin \alpha_0 & \cos\alpha_0 \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} a_{x0} \\ a_{y0} \end{array} \right ) ・・・⑬ \)

座標系上の点の回転を示す回転行列

⑬式は座標系を回転させる場合。

座標系は動かずに、点A (a_x0 a_y0) が原点中心に点B (a`<sub>x1</sub> a`_y1) へと回転した場合を考える。

視点を変える。

自身が座標軸と一緒に動くと、点Ａは相対的に逆方向に動く。つまり、回転している座標系と同時に回転しながら点Aをみていると思えばよい。
(座標軸を+α₀ 回転と、点Aが－α₀ の回転は同じ（視点が違うのみ）)

つまり、点Aを α₀ 回転させる行列 R’_α は、⑪式の R_α に －α₀ を代入したものとなる。

\( R~’_\alpha = \left ( \begin{array}{cc} \cos(-\alpha_0 ) &\sin(-\alpha_0 ) \\ -\sin (-\alpha_0) & \cos(-\alpha_0) \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cc} \cos\alpha_0 & – \sin\alpha_0 \\ \sin\alpha_0 & \cos\alpha_0 \end{array} \right ) ・・・⑭ \)

これが、同一座標系上で点を動かすときに使う回転行列である。

⑫式より、こっちの方がよく目にするかも。

これを使うと、 点Aが角度α₀回転した点Bの座標は

\(\left ( \begin{array}{c} a’_{x1} \\ a’_{y1} \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cc} \cos\alpha_0& -\sin \alpha_0 \\ \sin \alpha_0 & \cos\alpha_0 \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} a_{x0} \\ a_{y0} \end{array} \right ) ・・・⑮\)

で求める事ができる。

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