オイラーの公式 : Euler’s Fomula
世界で最も美しいといわれる式
この式は、オイラーの公式
から導かれる（②式の \(\theta \) に \( \pi \) を代入すると①式）。
振動系の解析では、方程式の一般解としてこの形が出てくるで、中身は知らなくてもこの形は覚えておいたよいかな。
理論物理学者のファインマン博士は、この式を ”宝石” と呼んだ。
今回は美しいと言われている理由 と その使い方を少し。”美しい公式だね” だけでは、ちょっともったいないしね
美しいと言われる理由について
①式＆②式の登場人物は（使用されている数学の要素は）、
- ネイピア数 ” e “
- 虚数 ” i “
- 円周率 ” π “
- 負の世界 ” – “
- 指数関数
- 三角関数
着目するのは、この式の成り立ちである。
この式の登場人物（各要素）は数学の歴史上、それぞれ別の時代 / 別の地域 / 別の定義のモノ。
つまり各々別の必要性（動機）があり、定義されてきたものであるという事。
周期関数である三角関数、非周期関数である指数関数、実数と虚数からなる複素数、マイナスの世界、何度微分しても形を変えない指数関数exの底となるネイピア数e、円周率πと、一見すると全く別物なのである。
この各世界を、ひとつの世界に集約（統合）するのが②式のオイラーの公式。
この統合が成り立つ事（つじつまがすっきりと合う事）は、統合した世界においてのみならず、それまでの各世界での論理構築が”真”であった事の裏づけにもなっているのである。
-> ”世界で最も美しい公式”と呼ばれる理由である。
300年もの前（Leonhard Euler (1707 – 1783)）の話である。
オイラー先生曰く
しかし、”ずっと前に分かっていたのである”って、カッコいい。すでに存在をしていて、見つけられるべくして、見つけたモノ。
数学は神様と会話ができる言語っていう人がいるのもわからないでもない。。
図形的に解釈
さて、実を言うとオイラーの公式は図で書くと、その解釈はそれ程難しくはない。
単に、\( e^{i \theta} \) は複素平面上の単位円を示している、と言っているにすぎない。つまり、
複素数表示 \( \small{Z} = \small{Re} + i\cdot \small{Im} \) ( \( \small{Re} \):実数部、\( \small{Im} \)：虚数部) を使い、複素平面（ガウス平面）上で、半径１の円を \( \theta \) を使って極座標表示をすれば、\( \small{Z} =cos \theta + i \cdot sin \theta\) である。これは ②式 の右辺と一致。つまり、 \( \small{Z}= e^{i \theta} \ ( = cos \theta + i \cdot sin \theta) \)
これから、 \( e^{i \theta} \) は、
これが \( e^{i \theta}=cos \theta + i \cdot sin \theta \) の図形的な解釈。
（ 指数関数である \( e^{i \theta} \) は複素平面でみれば、単位１の円をぐるぐるとまわっているのである <- 三角関数で置き換えられる理由がココ）
ちなみに、\( e^{i \theta} \) が描く円において、θ =π の時が”最も美しい式”と言われる ①式 を表す点。
- \( e^{i \pi} = – 1\) (θ =π)
当たり前だが、ちゃんと実数軸上の点になっている。
さて、\( e^{i \theta} \) が \( cos \theta + i \cdot sin \theta \) と等しくなる事の証明もなかなか面白い。パズルを解けた時のすっきり感が味わえる（オイラー大先生スゴし）。
以下の記事にて
さてさて、このオイラーの公式、美しい公式だね、、、から、ちょっとだけ先へ。使われ方ちょっと知っておくと、視野が広がっていく。なにせ、世界統合する数式。いろいろなトコロでちょこちょこ顔を出す。
まずは簡単なところから。
公式の利用もこんな感じで
利用その①：正弦、余弦の加法定理が出てくる
指数の計算規則と虚数の定義( i2 = -1)を使うと、三角関数の加法定理の導入に使える
加法定理は、確か高校(？)の頃の教科書ではいきなり出てきて、サイン・コス・コス・サインみたいな呪文で覚えさせられた記憶があるが、②式を知ってれば、覚える必要はない。
三角関数の加法定理
オイラーの公式から ei(α+β) は
- ei(α+β) = cos(α+β) + i sin(α+β)・・・③
であり、また
- ei(α+β) = eiα・e iβ
= (cosα + i sinα) (cosβ + i sinβ)
= (cosα cosβ + i2 sinα sinβ ) + i ( sinα cosβ + cosα sinβ)
= (cosα cosβ – sinα sinβ ) + i ( sinα cosβ + cosα sinβ)・・・④
である。
ここで、③式と④式をくらべれば、実数部/虚数部は等しい事から
- cos(α+β) = cosα cosβ – sinα sinβ ・・・⑤
- sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ ・・・⑥
正弦、余弦の加法定理はオイラーの公式から同時に計算される。(ちなみに、(α‐β)も同じ計算方法）
この方法は、倍角の公式であろうが、3つの角の加法計算であろうが利用できる。
利用その②： 三角関数が指数関数への置き換えられる
振動系の計算でよく使用される三角関数の指数への置き換え
これは微分が必要な時に威力を発揮する。
振動の計算等で eiθ とか出てくると、見ただけでうぇっー！と脳みそが拒絶モードに入りそうになるが、これを知っていればただの三角関数の置換え。
ハードルはぐっと下がる（はず）。
利用その③： xのn乗=1 の方程式の解も作図で答えがでる
さて、eiθ が複素平面上の単位円をぐるぐる回るっていうイメージを補完するために一例を。
方程式
- ｘｎ＝１（n = 1,2,3・・・）・・・⑪
にオイラーの公式を使ってみる。図解的解釈をすると、解は一発で見てわかる。
というのも、複素数平面上で、頂点の一つにｘ=1を持つ正ｎ角形を書いた時に、その他の頂点が ｘｎ＝１ の解となるためである。
以下に解説
概要解説
まずこの方程式のｘをｘ= eiφ とおくと⑪式は
- einφ ＝１ ・・・⑫
さてここで、オイラーの公式 eiθ = cosθ + i sinθ を振り返る
オイラーの公式が” 1 ”を示すのは（ cosθ + i sinθ =1）になるのは、θ が 2πの点を示す時
(整数倍も含めれば、θ =2πk (k=1,2・・・ ))。 つまり
- ei2πk ＝１ （k=1,2・・・）・・・⑬
である。
つまり⑫式⑬式から、 ei(nφ) = ei(2πk)
これから、nφが、nφ =2πk（k=1,2・・・）を満たすとき⑫式の解となる。これを変形して
- φ = （2π/n) k
角度φは 、2 πをｎ等分した角度の整数倍である事がわかる。
先に答えをかけば、
図で書いた方がわかりやすい。以下にて
n=1の場合 （\( x^1=1 \) の解）
方程式は x1＝1
解をもつときのφは φ = 2π
言うまでもないが、解はx＝1
n=2の場合 （\( x^2=1 \) の解）
方程式は x2＝1
n=2を踏まえ、円を2等分した点、つまり
φ = π , 2π
（つまり解を示す点は実数軸上）
の円上の点が方程式の解 eiφ 。
（φ = (2π/n) k から φ = πk 、k≦ nよりk=1.2)
オイラーの公式を使えば解は
- x= eiπ= cosπ+ i sinπ = -1
- x= ei2π= cos2π+ i sin2π = 1
の二つ。
このあたりまでは、単純に因数分解を使って、
x2-1=(x-1)(x+1)=0 からx= ±1 とした方が早い。。
n=3の場合 （\( x^3=1 \) の解）
方程式は x3＝1
図からみれば、複素平面の実数軸上の”１”を基準にした正三角形の各点が解
n=3を踏まえ、円を3等分した点、つまり
φ = 2π/3, 4π/3, 2、
の円上の点が方程式の解。
（φ = (2π/n) k から φ = (2π/3) k 、k≦ nよりk=1.2,3)
オイラーの公式を使えば解eiφは、
- x= ei2π= cos2π+ i sin2π= 1
の三つ
n=4の場合 （\( x^4=1 \) の解）
方程式は x4＝1
図からみれば、複素平面の実数軸上の”１”を基準にした正方形の各点が解
n=4を踏まえ、円を4等分した点、つまり
φ = π/2, π, 3π/2 、2π
の円上の点が方程式の解。
（φ = (2π/n) k から φ = (π/2) k 、k≦ nよりk=1.2,3,4)
オイラーの公式を使えば解 eiφ は、
- x= ei(π/2)= cos(π/2)+ i sin(π/2) = i
- x= eiπ= cosπ+ i sinπ = -1
- x= ei(3π/2)= cos(3π/2)+ i sin(3π/2) = – i
- x= ei2π= cos2π+ i sin2π= 1
の四つ
n=5の場合 （\( x^5=1 \) の解）
方程式は x5＝1
図からみれば、複素平面の実数軸上の”１”を基準にした正五画形の各点が解
n=5を踏まえ、円を4等分した点、つまり
φ = 2π/5, 4π/5 , 6π/5 , 4π/5 、2π
の円上の点が方程式の解。
（φ = (2π/n) k から φ = (2π/5) k 、k≦ nよりk=1.2,3,4,5)
オイラーの公式を使えば解 eiφ は、
- x= ei(2π/5) = cos(2π/5)+ i sin( 2π/5 )
- x= ei(4π/5) = cos(4π/5)+ i sin( 4π/5 )
- x= ei(6π/5) = cos(6π/5)+ i sin( 6π/5 )
- x= ei(8π/5) = cos(8π/5)+ i sin( 8π/5 )
- x= ei2π = cos2π+ i sin2π(= 1)
の五つ。 簡単に算出できる。
その先の高次も同じ （\( x^n=1 \) の解）
以降の高次も同じなので省略。
（n次であれば角度２π/ｎの整数倍（ ≦ n）を順次オイラーの公式に入れてやるだけで解が出る。）
オイラーの公式を図で書いて方程式が意味する点をピックアップすれば、数字だけ見て答えを出すよりよほど理解しゃすい。。
さてあらためて、オイラーの公式
これが道具としてのメリット。上の方程式の解はこれを利用して求めている。
前述で、eiθ の動きのイメージとして、
” eiθ は複素平面で単位１の円をぐるぐるとまわっているのである ”
と書いたが、この方程式の解を図形的に解釈する時の eiθ の動きのイメージが、それに近い。
利用その④： ド・モアブルの公式
ｘｎ=１ の方程式では、n回 回転させると”1”になる角度φを求めて解xにたどりついたが、式の利用であれば、回転していきつく先は別に”1″でなくともよい。
eiθ のn乗である einθ は、複素平面上の点 eiθ を単位円上にて角度 θでn回 繰り返して回転させるという事。
つまり角度だけでいえば、θを積算した nθ。よって、
である。これはド・モアブルの公式と呼ばれる
この式変形はよく見るので、頭の片隅にいれておいた方が良いかも
（オイラーの公式と言っている事かわらないじゃん。。と言わずに)。
（ちなみに、まじめに証明するのであれば、 ei(α+β) = cos(α+β) + i sin(α+β) を使って、帰納法で証明（β=α で始めて、つみ重ねたnαをnα=γとでも置き換えて(n+1)で証明可）。
追記
eiθ が cosθ + i sinθ と等しい事の証明は以下。数学の歴史が詰まっている。面白い。
実数・虚数についてはこちらの本がおススメ
オイラーの公式について、こちらがおススメ。
