数学一般-2)-1. 虚数とは？虚数のとらえ方とその特徴。＆（虚数と実数を組み合わせた）二元数が作る世界

はじめに

虚数単位 i は、

・・・②

にて定義されている。つまり i²= -1。

マイナスの数に、マイナスをかけたらプラスの数になるはず。2乗してマイナスになる数はあり得ない。

この違和感と実の数に対する”虚”の数という”名前から、なにやら理解不能なイメージがともなう。

さてさて、

• “2乗してマイナスになる数はあり得ない”

先にも書いたが、これをもう少し正確に言えば、

• ”2乗してマイナスになる数は、実数ではあり得ない”

少し数字の世界（見方）を広げる必要がある。

元数と虚数

実数だけの世界に、同じ概念ではあるが別である世界からの軸を加え、世界を少し広げる。

直線から平面に広げる感じに近い。

この新たに加えた軸上の数が”虚数”、この軸の単位を i とする

この加えた虚数軸は実数軸に直行、当然互いに干渉しない（互いに独立した直行軸）。

ちなみに、実数と虚数というと、この世とあの世（見える世界と見えない世界）みたいなイメージがあるが、ともに実在する数。（同レベルで互いに独立。ただ世界自体が違うので他の世界が見えないだけ、と捉えておく）

さて、この”それぞれに独立した数の世界の数” を表すのに元数という言葉を使う。

この場合は、二元数という。

また、二つの世界を同時に表す数をZとすると

これは複素数と呼ばれ、この実数軸と虚数軸がなす平面は複素平面（ガウス平面）と呼ばれる。

（ちなみに、実数軸二軸で構成するゆがみのない二次元平面はユークリッド平面と呼ばれる）

ちなみに、実数軸ｘ１、虚数軸ｘ3の計4つの世界からなる数は、4元数（クォータニオン）と呼ばれ、空間上の回転を計算する時に使われる。

虚数の性格

このi を使ったZは面白い性質を持つ。

Z₀=a₀ +ｂ₀ i とし、繰り返し i をかけていくと

Z₀= a₀ +ｂ₀i -> Z₁= a₀ i – ｂ₀ -> Z₂= -a₀ – ｂ₀ i -> Z₃= -a₀ i + ｂ₀ -> Z₄= a₀ + ｂ₀i

このZ_nをベクトルとしてみれば、

事がわかる。このベクトルは複素ベクトルと呼ばれる。

ベクトルを逆方向に向ける事は180°回転させる事。つまり、i を二回かければよい。

これが虚数を使ったマイナスの意味（実数軸上）
( i² = -1 で定義しているので当然といえば当然であるが。。。)

また、虚数軸は実数軸と同じ元数。同じレベル。つまり、虚数軸側についても全く同じ使い方ができる。

ついでに、この二元数 Z の表記（ Z＝ a + ｂ i ）は、実数軸の二次元平面の任意ベクトルと見る時の感覚と似ている。つまり 、i→ 、 j→ をxｙ軸の正規直行基底とした時の、c→ = a i→ + b j→ 。（a b）が xｙ軸の座標値となるとの同じ。

違いは、i をかけるごとにぐるぐる回る事。