(ボルト)ねじの力学: 斜面の定理のねじ面への展開（詳細）

このページの目次

はじめに
力のつりあいの概要
1. 座標軸と斜面の定義
2. 斜面上の力のつり合い

はじめに

今回もこの二冊がベース。前回と同じ ”ねじ締結の原理と設計”と”ねじ締結概論”。

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以下の記事の ”ねじ面に作用するトルク T_s ” に使う水平力”U”の詳細説明。

水平力”U”は、この式

$U = F_{s} \cdot (\frac{\pm P}{π d_{p}} + \frac{μ_{s}}{\cos α})$ ・・・⓪

発生軸力:Fs
ねじピッチ:P
ねじの有効径:d_p
ねじ面の摩擦係数:μ_s
ねじの山の半角:α
水平方向にかける力:U

を斜面の定理（ U＝ F tan( θ + ρ₀) ）から求める。

5. ボルトのねじ面で使う斜面の定理と摩擦角 (基礎)

はじめに軸力の計算時に用いるねじ面にかかるトルクの計算には、”斜面の定理”と ”摩擦角” を利用する。詳細はこちらさて、非常に基本的なトコロなんだけど、式の中で斜面の角度に摩擦角が混ざると、あれ。。なんでだっけ？となった記憶があるので再整理...

ただねじ面の場合、斜面が

斜面の角度であるねじのリード角：β
斜面のバンク角度であるねじ山の半角：α

の合成した角度の斜面となっているため、斜面の定理はそのままでは使えない。

この部分は持っている参考書、ちょっとわかりづらかったので、力のつり合いから書き直し。。。

次のページは、そのねじ面の力のつり合いから

力のつりあいの概要

バンク角 α をもつ斜面角 β の斜面に沿って物体を押し上げる場合を考える。

座標軸と斜面の定義

基準の座標軸はO-X₀Y₀Z₀ とし（図１正面図参照）、斜面上に原点O、水平方向にX₀軸、重力方向にY₀軸をとる。（Z₀軸は、座標系を右手系にとる事により自動的に決まる）

続いて、追加の座標系として

O-X₀Y₀Z₀をZ₀軸廻りにβ回転したものをO-X₁Y₁Z₁
O-X₁Y₁Z₁をX₁軸廻りに α’回転させたものをO-X₂Y₂Z₂

とする。

Note: ここでα’はバンク角α（＝ねじ山の半角）を斜面角βから見た角度。つまり

$\tan α^{'} = \tan α \cos β$ ・・・①
(∵ $\tan α = \frac{\frac{P}{2}}{h}$ より、 $\tan α^{'} = \frac{\frac{P}{2} \cos β}{h} = \tan α \cos β$ ： P ねじピッチ、 h ねじ山高さ)

である。

斜面上の力のつり合い

さて、バンク角付きの斜面上の力のつり合いを一通り図示すると、

ここで水平力は $\vec{U}$ 、重力を $\vec{F}$ 、その双方に垂直な力を $\vec{C}$ 、斜面に発生する垂直抗力を $\vec{N}$ 、発生する摩擦力を $\vec{M}$ とする。

斜面角β方向

相当摩擦角の導入し、一旦斜面角β方向で斜面の定理を成立させる。

つまり、仮の摩擦係数 $μ^{'} = \tan ρ^{'}$ を導入(相当する摩擦角を $ρ^{'}$ & 対応する垂直抗力を ${\vec{N}}^{'}$ )として、この方向で斜面の定理を成立させ、 $| \vec{U} |$ を、

$| \vec{U} | = | \vec{F} | \tan (β + ρ^{'})$ ・・・②

で表す。つまり、

$| \vec{M} | = \tan ρ^{'} | {\vec{N}}^{'} |$ ・・・②-1

バンク角α方向

続いて、 $\vec{U} と \vec{F}$ の合力を $\vec{S}$ とする。

この $\vec{S}$ をY₁Z₁平面へ投影したベクトルを ${\vec{S}}^{'}$ とし（図1 View Z）、この ${\vec{S}}^{'}$ に着目してバンク角α方向の斜面のつり合いを考える。

物体がバンク角方向にずり落ちる方向の力は、この ${\vec{S}}^{'}$ の分力 $\vec{L}$ 。

物体はバンク角方向にはずり落ちない事を前提としているので、これを支える力 $\vec{J}$ （図2参照）（バンク角方向の摩擦力を含んだ力）とつり合っている事になる。

また、この $\vec{J}$ はバンク角方向の斜面の物体の位置を維持する力 $\vec{C}$ の分力として発生する。

つまり、 $| \vec{C} |$ は、

$| \vec{C} | = | {\vec{S}}^{'} | \tan α$

明らかに( ${\vec{S}}^{'}$ と $\vec{C}$ の合力) $\vec{K}$ はバンク角αの斜面に垂直。

つまり $\vec{K}$ の反力 $\vec{N}$ が求める垂直抗力。この $\vec{N}$ と摩擦角 ρを使えば、摩擦力

$| \vec{M} | = \tan ρ | \vec{N} |$ ・・・②-2 （摩擦係数 μ=tanρ（ ρ：摩擦角））。

を導く事ができる。

力のつり合いまとめ

計算に入る前に一旦力のつり合いのまとめ。

結局のところ、摩擦力を計算するのに垂直抗力から求めるのは変わらないが、バンク付き斜面で3次元で考えなければならないのが、ちょっと面倒なトコロ。

簡単には、O-X₀Y₀Z₀座標系の合力ベクトルである $(\begin{matrix} | \vec{U} | \\ - | \vec{F} | \\ - | \vec{C} | \end{matrix})$ に対する反力ベクトルに対して、O-X₂Y₂Z₂座標系（バンク付き斜面の座標軸）から求めた $(\begin{matrix} - | \vec{M} | \\ | \vec{N} | \\ | \vec{L} | \end{matrix})$ の成分の大きさから求めたρと ρ’ の関係を②式に展開すれば、摩擦係数と水平力と重力の関係式が求まる
（ねじ面で言えば、”摩擦係数” ＆ ”入力トルクによる力” ＆ ”発生する軸力” の関係式）。

Note:ねじ面を前提とすれば $\vec{C}$ 全周にわたって発生するため円周上でつり合う。
-> 外部からの $\vec{C}$ の調整はない

さて続いて、各ベクトルの大きさの計算を。