(ボルト)ねじの力学: 斜面の定理のねじ面への展開（詳細）

このページの目次

はじめに
力のつりあいの概要
1. 座標軸と斜面の定義
2. 斜面上の力のつり合い

はじめに

今回もこの二冊がベース。前回と同じ ”ねじ締結の原理と設計”と”ねじ締結概論”。

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以下の記事の ”ねじ面に作用するトルク T_s ” に使う水平力”U”の詳細説明。

水平力”U”は、この式

\( \tt \displaystyle U=F_s \cdot (\frac {{\pm}P}{\pi d_p}+ \frac {{\mu}_s}{\cos {\alpha}} ) \) ・・・⓪

発生軸力:Fs
ねじピッチ:P
ねじの有効径:d_p
ねじ面の摩擦係数:μ_s
ねじの山の半角:α
水平方向にかける力:U

を斜面の定理（ U＝ F tan( θ + ρ₀) ）から求める。

5. ボルトのねじ面で使う斜面の定理と摩擦角 (基礎)

はじめに軸力の計算時に用いるねじ面にかかるトルクの計算には、”斜面の定理”と ”摩擦角” を利用する。詳細はこちらさて、非常に基本的なトコロなんだけど、式の中で斜面の角度に摩擦角が混ざると、あれ。。なんでだっけ？となった記憶があるので再整理...

ただねじ面の場合、斜面が

斜面の角度であるねじのリード角：β
斜面のバンク角度であるねじ山の半角：α

の合成した角度の斜面となっているため、斜面の定理はそのままでは使えない。

この部分は持っている参考書、ちょっとわかりづらかったので、力のつり合いから書き直し。。。

次のページは、そのねじ面の力のつり合いから

力のつりあいの概要

バンク角 α をもつ斜面角 β の斜面に沿って物体を押し上げる場合を考える。

座標軸と斜面の定義

基準の座標軸はO-X₀Y₀Z₀ とし（図１正面図参照）、斜面上に原点O、水平方向にX₀軸、重力方向にY₀軸をとる。（Z₀軸は、座標系を右手系にとる事により自動的に決まる）

続いて、追加の座標系として

O-X₀Y₀Z₀をZ₀軸廻りにβ回転したものをO-X₁Y₁Z₁
O-X₁Y₁Z₁をX₁軸廻りに α’回転させたものをO-X₂Y₂Z₂

とする。

Note: ここでα’はバンク角α（＝ねじ山の半角）を斜面角βから見た角度。つまり

\( \tan{\alpha’}= \tan{\alpha} \cos {\beta} \) ・・・①
(∵ \( \tan{\alpha}= \tt \displaystyle \frac {\frac {P}{2}}{h} \) より、\( \tt\displaystyle \tan{\alpha’}= \frac {\frac {P}{2} \cos {\beta} }{h}= \tan{\alpha}\cos {\beta} \) ： P ねじピッチ、 h ねじ山高さ)

である。

斜面上の力のつり合い

さて、バンク角付きの斜面上の力のつり合いを一通り図示すると、

ここで水平力は \( \tt \vec{U} \) 、重力を \(\tt \vec{F} \) 、その双方に垂直な力を \( \tt \vec{C} \)、斜面に発生する垂直抗力を\( \tt \vec{N} \)、発生する摩擦力を \( \tt \vec{M} \) とする。

斜面角β方向

相当摩擦角の導入し、一旦斜面角β方向で斜面の定理を成立させる。

つまり、仮の摩擦係数\( \tt \mu’=\tan{\rho}’\)を導入(相当する摩擦角を\( \rho’ \) & 対応する垂直抗力を \(\tt \vec{N}’ \) )として、この方向で斜面の定理を成立させ、\( \tt|\vec{U}| \) を、

\( \tt |\vec{U}| = |\vec{F}| \tan( \tt {\beta+\rho’}) \) ・・・②

で表す。つまり、

\( \tt |\vec{M}| = \tan{\rho’} \tt |\vec{N}’ |\) ・・・②-1

バンク角α方向

続いて、\(\tt \vec{U} と\vec{F} \) の合力を \( \tt \vec{S}\) とする。

この\( \tt \vec{S}\) をY₁Z₁平面へ投影したベクトルを \( \tt \vec{S}’\)とし（図1 View Z）、この\( \tt \vec{S}’\)に着目してバンク角α方向の斜面のつり合いを考える。

物体がバンク角方向にずり落ちる方向の力は、この\( \tt \vec{S}’\) の分力 \( \tt \vec{L}\)。

物体はバンク角方向にはずり落ちない事を前提としているので、これを支える力\(\tt \vec{J}\) （図2参照）（バンク角方向の摩擦力を含んだ力）とつり合っている事になる。

また、この\(\tt \vec{J}\) はバンク角方向の斜面の物体の位置を維持する力\( \tt \vec{C} \)の分力として発生する。

つまり、\( \tt|\vec{C}| \) は、

\( \tt |\vec{C}| = |\vec{S}’| \tan{\alpha} \)

明らかに(\( \tt \vec{S}’\)と\( \tt \vec{C}\)の合力) \( \tt \vec{K}\) はバンク角αの斜面に垂直。

つまり\( \tt \vec{K}\) の反力 \( \tt \vec{N}\) が求める垂直抗力。この\( \tt \vec{N} \)と摩擦角 ρを使えば、摩擦力

\( \tt |\vec{M}| = \tan{\rho} \tt |\vec{N}|\) ・・・②-2 （摩擦係数 μ=tanρ（ ρ：摩擦角））。

を導く事ができる。

力のつり合いまとめ

計算に入る前に一旦力のつり合いのまとめ。

結局のところ、摩擦力を計算するのに垂直抗力から求めるのは変わらないが、バンク付き斜面で3次元で考えなければならないのが、ちょっと面倒なトコロ。

簡単には、O-X₀Y₀Z₀座標系の合力ベクトルである\(
\left (
\begin{array}{c}
\tt |\vec{U}| \\ \tt -|\vec{F}| \\ \tt -|\vec{C}|
\end{array}
\right )
\) に対する反力ベクトルに対して、O-X₂Y₂Z₂座標系（バンク付き斜面の座標軸）から求めた\(
\left (
\begin{array}{c}
\tt -|\vec{M}| \\ \tt |\vec{N}| \\ \tt |\vec{L}|
\end{array}
\right )
\) の成分の大きさから求めたρと ρ’ の関係を②式に展開すれば、摩擦係数と水平力と重力の関係式が求まる
（ねじ面で言えば、”摩擦係数” ＆ ”入力トルクによる力” ＆ ”発生する軸力” の関係式）。

Note:ねじ面を前提とすれば\( \tt \vec{C} \) 全周にわたって発生するため円周上でつり合う。
-> 外部からの \( \tt \vec{C}\) の調整はない

さて続いて、各ベクトルの大きさの計算を。