二輪車のトレール、ホイールベース計算方法 (バイクの車両諸元計算の入り口)

二輪車の車両諸元の計算

ベクトルを道具として使うとこんな計算もやりやすくなる、という例を。。。

ママチャリでは聞かないが、モーターサイクルにしろ競技用の自転車等で、操安向上目的にてフロント周りの変更（パーツ交換等にて）、サスペンションのセッティング変更を行う場合がある。で、変更する際に必要な情報の一つが、それにより操安性に影響するキャスター角、トレール、ホイールベースの値がどれぐらいが変わるか？の情報。

これをベクトルの内積計算 ＆ 回転行列を使って計算。この計算はベクトルで考えると整理しやすい。

（内積、回転行列については以下を）

2. ベクトルの内積の意味とその計算

ベクトルの内積をまとめて簡易説明。内積の意味と定義から、成分計算の導き方、簡単な使い道まで。

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2025.04.14

4. 座標変換と回転行列 オイラー角の入り口まで

回転行列の中身を再度。方向余弦を使って導く。まずは、図的に理解しやすい平面(2次元）の回転行列（2x2 行列)からはじめて、立体空間（3次元）向け の回転行列（ 3x3 行列 ) へと話をすすめる。とりあえず3次元の回転行列までおさえておけば、空間上の物体の動きは計算できるようになる（オイラー角とかとか）。。

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2025.04.14

さて今回は、サスペンションのストローク変化に伴うキャスター角、トレール長、ホイールベース長の計算を主眼として、二次元で考える（転舵時の計算はまた今度）。

座標系を $O_0-X_0{Z}_0$（右手右ねじ系）とし、モデルの構成は以下とする。

• フロントタイヤ（アクスル中心（点 $A_{ft}$）を保持するフロントフォークは、トップブリッジ＆ボトムブリッジを介してステアリング軸をもつフレームボディのヘッドパイプ（以下 $H/P$ ）にてフレームボディーに結合される
  （ $H/P$ の下端点を点 $H_l$ とする)
• リアタイヤ（アクスル中心（点 $A_{rr}$) を保持するリアフォークは、その回転のピボット点 にてフレームに結合される
• 座標系 $O_0-X_0{Z}_0$ の原点 $O_0$にフレームボディーのリアフォークピボット点を設置し、キャスター角 ${\theta }_{c0}$ にて$H/P$ 下端高を設置し、フレームボディーを $O_0-X_0{Z}_0$ に固定する（ばね上固定）。
  （キャスター角 ${\theta }_{c0}$ ：フレームボディーの $H/P$ 軸（ステアリング軸）と鉛直方向（$Z_0$ 軸平行）のなす角）
• リアタイヤの位置はリアフォークのピボット点を中心とした回転方向（②）に沿ってのみ動く
• フロントタイヤの位置はフロントフォークの伸縮方向（①）に沿ってのみ動く

さて、フロントタイヤ接地点とリアタイヤ接地点を結ぶ線がグランドライン（地面基準の水平線：以下 $G/L$)、また、ホイールベース長はこの二つの接地点の距離となる。

またトレール長は、$H/P$ 軸を延長して $G/L$ と交わる点と、フロントアクスルから $G/L$ に投影した点との距離。

ばね上を固定しているので、サスペンションのストローク量が変われば $G/L$ が変わる。
（ざっくりと言えば、ばね上（フレームボディー）を座標系 $O_0-X_0{Z}_0$ に”固定”。サスペンションストロークに伴いばね下が動き $G/L$ が動くモデルモデル）（下図）

ホイールベース等の諸元変化の計算を目的としているので、ばね下だけを動かす方がベクトル計算の式がたてやすい。

まずあらかじめ、算出した式一覧は、、

式一覧

Frアクスル座標 ((5)式は簡易版、(40)式は詳細版)

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Aft}}\\ z_{0_{Aft}}\end{array}\right)=& \left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Hp}}-l_{fs}\cdot sin{\theta }_{0c}-(f_{off}+a_{off})\cdot cos{\theta }_{0c}\\ z_{0_{Hp}}-l_{fs}\cdot cos{\theta }_{0c}+(f_{off}+a_{off})\cdot sin{\theta }_{0c}\end{array}\right)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(5)\\ =& \left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Hp}}+(t_{hp}+t_{tb}+u_{ff}-l_{ff}+s_{fr})\cdot sin{\theta }_{c0}-(f_{off}+a_{off})\cdot cos{\theta }_{c0}\\ z_{0_{Hp}}+(t_{hp}+t_{tb}+u_{ff}-l_{ff}+s_{fr})\cdot cos{\theta }_{c0}+(f_{off}+a_{off})\cdot sin{\theta }_{c0}\end{array}\right)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(40)\end{array}$

Rrアクスル座標

$\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Arr}}\\ z_{0_{Arr}}\end{array}\right)=l_{rf}\cdot \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{|cos{\phi }_{Arr|}}{l_B}}\cdot x_{0B}+{\displaystyle \frac{|sin{\phi }_{Arr}|}{l_{rs}}}\cdot z_{0B}\\ {\displaystyle \frac{|cos{\phi }_{Arr}|}{l_B}}\cdot z_{0B}–{\displaystyle \frac{|sin{\phi }_{Arr}|}{l_{rs}}}\cdot x_{0B}\end{array}\right)$・・・(14)

( $cos{\phi }_{Arr}$ = ${\displaystyle \frac{{l_B}^2+{l_{rf}}^2–{l_{rs}}^2}{2\cdot l_B\cdot l_{rf}}}$、 $sin{\phi }_{Arr}$ = $\pm \sqrt{1-co{s}^2{\phi }_{Arr}}$ )

グランドライン（G/L）の傾き

${\phi }_{GL}=\alpha –arcsin({\displaystyle \frac{a_r}{\sqrt{a_x^2+a_z^2}}})$ ・・・(21)

($sin\alpha ={\displaystyle \frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_z^2}}}$ , $cos\alpha ={\displaystyle \frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_z^2}}}$ )

(ここで、 $a_z=z_{0_{Arr}}–z_{0_{Aft}}$ , $a_x=x_{0_{Arr}}–x_{0_{Aft}}$ , $a_r=r_{rr}–r_{ft}$ )

G/Lを基準とした座標系への変換

$\left(\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}cos{\phi }_{GL}\cdot x_0+sin{\phi }_{GL}\cdot z_0\\ –sin{\phi }_{GL}\cdot x_0+cos{\phi }_{GL}\cdot z_0\end{array}\right)$ ・・・(23)

G/L基準のキャスター角

${\theta }_c$=${\theta }_{0c}+{\phi }_{GL}$ ・・・(24)

G/L基準のホイールベース長

$\begin{array}{rl}wb& =cos{\phi }_{GL}\cdot (x_{0_{Arr}}-x_{0_{Aft}})+sin{\phi }_{GL}\cdot (z_{0_{Arr}}-z_{0_{Aft}})\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(27)\\ & =\sqrt{a_x^2+a_z^2}cos(\alpha –{\phi }_{GL})\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(28)\end{array}$

( αは (21)式 と同じ )

G/L基準のトレール長

$\begin{array}{rl}tr=& |(cos{\phi }_{GL}\cdot x_{0Aft}+sin{\phi }_{GL}\cdot z_{0Aft})\\ & –(cos{\phi }_{GL}\cdot x_{0HP}+sin{\phi }_{GL}\cdot z_{0HP})\\ & –(sin{\phi }_{GL}\cdot x_{0HP}–cos{\phi }_{GL}\cdot z_{0HP})\cdot tan|({\theta }_{0c}+{\phi }_{GL})|\\ & +(sin{\phi }_{GL}\cdot x_{0Aft}–cos{\phi }_{GL}\cdot z_{0Aft})\cdot tan|({\theta }_{0c}+{\phi }_{GL})|\\ & +r_{ft}\cdot tan|({\theta }_{0c}+{\phi }_{GL})||\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(37)\end{array}$

高さからのH/P座標、点Bの座標

$\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Hp}}\\ z_{0_{Hp}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}–\sqrt{{l_{HPl}}^2-(h_{0Hp}-h_{0O}{)}^2}\\ h_{0Hp}-h_{0O}\end{array}\right)$ ・・・(41)

$\left(\begin{array}{c}{x}_{0_B}\\ z_{0_B}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sqrt{{l_B}^2-(h_{0B}-h_{0O}{)}^2}\\ h_{0B}-h_{0O}\end{array}\right)$ ・・・(42)

車両幅方向の補正

$l_{xx}=\sqrt{{l_{act}}^2-{l_{adj}}^2})$ ・・・(43)

参考図

で、算出の詳細を以下にて、

グランドライン（地面）基準の車両諸元算出

計算の流れ

諸元計算の流れは、(以下 フロント： Fr、リア ：Rrにて表記 )

• Step１: フレームボディ（ばね上）を固定させた座標系 $O_0-X_0{Z}_0$ にて、H/P下端点基準にFrアクスル位置を算出
  Note: H/P下端点をFrストローク量算出の測定基準点に使用
• Step2: 同様にフレームボディ後端あたりにある任意の点Bを基準にRrアクスル位置を算出
  Note1: 点Bをリアストローク算出の測定基準点に使用
  Note2: Rrタイヤは原点O₀周りの回転方向移動であり、点BとRrアクスルの距離はリアストローク量とは一致はしない。
  （（角度より）長さの方が実測しやすいため、Rrストローク量算出の基準点代用として設定）
• Step3:そのアクスル位置におけるFr＆Rrタイヤの接線から$G/L$ の角度 ${\phi }_{GL}$ を算出
• Step4: 算出した${\phi }_{GL}$ を使った回転行列 $R_{{\phi }_{GL}}$ により $O_0-X_0{Z}_0$ を丸ごと回転させ、新しい座標系 $O_0-X_1{Z}_1$ に変換。
• Step5: 変化後の各車両各諸元値を、$O_0-X_1{Z}_1$ の座標系にて算出

要は、 $O_0-X_0{Z}_0$ での $G/L$ の傾き ${\phi }_{GL}$ を使いモデルごと回転させれば、回転後の座標系 $O_0-X_1{Z}_1$ では $G/L$ は水平になる。

これを使って（タイヤ位置がどこであれ）$O_0-X_1{Z}_1$ 上から読み取れば、車両の各諸元値はその座標値、もしくは簡単な足し算引き算で求められる、という感じ

設定したパラメータ名一覧を一旦以下に

Note1：ここでのパラメータ各値は図③モデルに従った正か0を想定しているが、負の値をとるのも可 （アクスルオフセット値が図③モデルと逆方向で、負になるとか）。
Note2：（$O_0-X_0{Z}_0$ 座標系は右手＆右ねじで設定し、計算時の正負はそれに従う

-> 車両をスタンドに乗せたフロント＆リアサス全伸び状態からモデル作成開始

フロントアクスル位置の算出 (Step1)

(計算 Step1)

座標系は $O_0-X_0{Z}_0$ を使用

Frアクスル位置（ $\overrightarrow{O_0{A}_{ft}}$ ）は、図④の赤矢印ルート上にあるベクトルがその位置算出に使用するベクトルとなるが、これは単に点をなぞっていくだけの単純なベクトルの足し算

$\overrightarrow{O_0{A}_{ft}}=\overrightarrow{O_0{H}_{pl}}+\overrightarrow{H_{pl}J}+\overrightarrow{JL}+\overrightarrow{L{A}_{ft}}$ ・・・(1)

ここで

• $\overrightarrow{n_{0c}}$：キャスター角下向きの方向ベクトル ( $|\overrightarrow{n_{0c}}|$ = 1：単位ベクトル)
• $\overrightarrow{m_{0c}}$：フロントアクスル方向にむかい、$\overrightarrow{n_{0c}}$ に直交する単位ベクトル ( $|\overrightarrow{m_{0c}}|$ = 1：単位ベクトル)

の二つのベクトルを設定する。

これらと図③の各パラメータ値を使い①式を書き直せば、フロントアクスル位置を示す $\overrightarrow{O_0{A}_{ft}}$ は

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{O_0{A}_{ft}}=& \overrightarrow{O_0{H}_{pl}}+l_{fs}\cdot \overrightarrow{n_{0c}}+f_{off}\cdot \overrightarrow{m_{0c}}+a_{off}\cdot \overrightarrow{m_{0c}}\\ =& \overrightarrow{O_0{H}_{pl}}+l_{fs}\cdot \overrightarrow{n_{0c}}+(f_{off}+a_{off})\cdot \overrightarrow{m_{0c}}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(2)\end{array}$

あとはこれを座標に落とし込めばよい。

まず、$\overrightarrow{n_{0c}}$ はキャスター角下向き方向の単位ベクトルより、

$\overrightarrow{n_{0c}}$ =$\left(\begin{array}{c}cos-({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\theta }_{0c})\\ sin-({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\theta }_{0c})\end{array}\right)$ = $-\left(\begin{array}{c}sin{\theta }_{0c}\\ cos{\theta }_{0c}\end{array}\right)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(3)$

$\overrightarrow{m_{0c}}$ 、$\overrightarrow{n_{0c}}$は互いに直行から $\overrightarrow{m_{0c}}\cdot \overrightarrow{n_{0c}}=0$ 。

これに向きと $\overrightarrow{m_{0c}}$ は単位ベクトルである事を踏まえれば、

$\overrightarrow{m_{0c}}$ = $\left(\begin{array}{c}-cos{\theta }_{0c}\\ sin{\theta }_{0c}\end{array}\right)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(4)$

(3)(4)のベクトルを使い、$\overrightarrow{O_0{A}_{ft}}=\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Aft}}\\ z_{0_{Aft}}\end{array}\right)$ 、 $\overrightarrow{O_0{H}_{pl}}=\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Hp}}\\ z_{0_{Hp}}\end{array}\right)$ とすれば、(2)式 は、

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{O_0{A}_{ft}}=\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Aft}}\\ z_{0_{Aft}}\end{array}\right)=& \left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Hp}}\\ z_{0_{Hp}}\end{array}\right)+l_{fs}\cdot –\left(\begin{array}{c}sin{\theta }_{0c}\\ cos{\theta }_{0c}\end{array}\right)+(f_{off}+a_{off})\cdot \left(\begin{array}{c}-cos{\theta }_{0c}\\ sin{\theta }_{0c}\end{array}\right)\\ =& \left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Hp}}-l_{fs}\cdot sin{\theta }_{0c}-(f_{off}+a_{off})\cdot cos{\theta }_{0c}\\ z_{0_{Hp}}-l_{fs}\cdot cos{\theta }_{0c}+(f_{off}+a_{off})\cdot sin{\theta }_{0c}\end{array}\right)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(5)\end{array}$

となり、これが、$O_0-X_0{Z}_0$ における 原点$O_0$ からFrアクスル位置へのベクトル成分値（座標値）。

リアアクスル位置算出 (Step2)

(計算 Step2)

座標系は $O_0-X_0{Z}_0$ を使用

座標系 $O_0-X_0{Z}_0$ 上のRrアクスル位置 $\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Arr}}\\ z_{0_{Arr}}\end{array}\right)(=\overrightarrow{O_0{A}_{rr}}$ ) はシンプルに、

$\overrightarrow{O_0{A}_{rr}}$ = $\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Arr}}\\ z_{0_{Arr}}\end{array}\right)$ = $l_{rf}\cdot \left(\begin{array}{c}cos{\phi }_{rr}\\ sin{\phi }_{rr}\end{array}\right)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(6)$

でもよいが、ストロークによるRrフォークの角度変化を追いかけるのも一苦労なので、長さ測定で車両諸元変化が算出できるように、ひと手間。

Rrサスペンション全屈時のアクスル位置より上にとったばね上（フレームボディ上）の固定点B $\left(\begin{array}{c}{x}_{0B}\\ z_{0B}\end{array}\right)$ をRrストローク長測定の代用基準点として使う事にする。

OBの延長上の（∠$O_0{B}^{\prime }{A}_{rr}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ) となる点をB’点 として、

$\overrightarrow{O_0{A}_{rr}}$ = $\overrightarrow{O_0{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{A}_{rr}}$ ・・・(7)

とみた 図④ の緑矢印ルート上にあるベクトルが、Rrアクスル位置に算出に使用するベクトル。

さて、まずは各ベクトルの方向を求める。

点B’はOBの延長線上である事を踏まえれば、$\overrightarrow{O_0{B}^{\prime }}$ 方向の単位ベクトル $\overrightarrow{n_{0B}}$ は、

$\overrightarrow{n_{0B}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{l_B}}\left(\begin{array}{c}{x}_{0B}\\ z_{0B}\end{array}\right)$ ・・・(8)

また、$\overrightarrow{O_0{B}^{\prime }}$ に対して 法線方向である$\overrightarrow{B^{\prime }{A}_{rr}}$の単位ベクトル$\overrightarrow{m_{0B}}$ は、方向をふまえれば

$\overrightarrow{m_{0B}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{l_{rs}}}\left(\begin{array}{c}{z}_{0B}\\ -x_{0B}\end{array}\right)$ ( ∵ $\overrightarrow{m_{0B}}\cdot \overrightarrow{n_{0B}}=0$ ) ・・・(9)

次は各ベクトルの長さを求める。

まずは、長さ算出に使用する角 $\angle BO{A}_{rr}$ （ 以下 ${\phi }_{Arr}$ ) を求めてみる。

三角形 ⊿$O_{0}B{A}_{rr}$ に着目すれば、3辺はわかっているので、${\phi }_{Arr}$ に余弦定理が使える。つまり、

$cos{\phi }_{Arr}$ = ${\displaystyle \frac{{l_B}^2+{l_{rf}}^2–{l_{rs}}^2}{2\cdot l_B\cdot l_{rf}}}$ ・・・(10)

ついでに $sin{\phi }_{Arr}$ は、

$sin{\phi }_{Arr}$ = $\pm \sqrt{1-co{s}^2{\phi }_{Arr}}$ ・・・(11)

Note：計算式の簡易化のため、以降の式内では $cos{\phi }_{Arr}$、$sin{\phi }_{Arr}$ これ以上展開せずそのまま使用（cos/sin値の算出自体は、エクセル等の計算ソフトにお任せ。一旦算出してから他の式に適用。）

さて、ひき続いて直角三角形 ⊿$O_0{B}^{\prime }{A}_{rr}$ に着目すれば、ベクトルの大きさ $|\overrightarrow{O_0{B}^{\prime }}|$ 、$|\overrightarrow{B^{\prime }{A}_{rr}}|$ は、上のcos値、sin値を使えばそれぞれ

$|\overrightarrow{O_0{B}^{\prime }}|$ = $|cos{\phi }_{Arr}|\cdot l_{rf}$ ・・・(12)
$|\overrightarrow{B^{\prime }{A}_{rr}}|$ = $|sin{\phi }_{Arr}|\cdot l_{rf}$ ・・・(13)

(8)(9)(10)(11)より、(7)式は

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{O_0{A}_{rr}}=\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Arr}}\\ z_{0_{Arr}}\end{array}\right)& =\overrightarrow{O_0{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{A}_{rr}}\\ & =|\overrightarrow{O_0{B}^{\prime }}|\cdot \overrightarrow{n_{0B}}+|\overrightarrow{B^{\prime }{A}_{rr}}|\cdot \overrightarrow{m_{0B}}\\ & =|cos{\phi }_{Arr}|\cdot l_{rf}\cdot {\displaystyle \frac{1}{l_B}}\left(\begin{array}{c}{x}_{0B}\\ z_{0B}\end{array}\right)+|sin{\phi }_{Arr}|\cdot l_{rf}\cdot {\displaystyle \frac{1}{l_{rs}}}\left(\begin{array}{c}{z}_{0B}\\ -x_{0B}\end{array}\right)\\ & =l_{rf}\cdot \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{|cos{\phi }_{Arr|}}{l_B}}\cdot x_{0B}+{\displaystyle \frac{|sin{\phi }_{Arr}|}{l_{rs}}}\cdot z_{0B}\\ {\displaystyle \frac{|cos{\phi }_{Arr}|}{l_B}}\cdot z_{0B}–{\displaystyle \frac{|sin{\phi }_{Arr}|}{l_{rs}}}\cdot x_{0B}\end{array}\right)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(14)\end{array}$

( ここで、$cos{\phi }_{Arr}$ = ${\displaystyle \frac{{l_B}^2+{l_{rf}}^2–{l_{rs}}^2}{2\cdot l_B\cdot l_{rf}}}$、 $sin{\phi }_{Arr}$ = $\pm \sqrt{1-co{s}^2{\phi }_{Arr}}$ )

となり、これが、$O_0-X_0{Z}_0$ における 原点$O_0$ から（点B経由の）Rrアクスル位置へのベクトル成分値（座標値）

グランドライン（G/L）の傾き算出 (Step3)

(計算 Step3)

さて、ここまでで求めたFrアクスル座標、Rrアクスル座標は、式の簡易化のため以降の記載では以下のまま。

Frアクスル軸：$\overrightarrow{O_0{A}_{ft}}=\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Aft}}\\ z_{0_{Aft}}\end{array}\right)$ 、Rrアクスル軸：$\overrightarrow{O_0{A}_{rr}}=\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Arr}}\\ z_{0_{Arr}}\end{array}\right)$

さて新たに、Frタイヤの接地点を点 $G_{ft}$, Rrタイヤの接地点を点 $G_{rr}$ を設定して、前後各アクスル軸から各接地点へのベクトルを見れば、

$\overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}$ = $r_{rr}\cdot \left(\begin{array}{c}cos(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\phi }_{GL})\\ sin(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\phi }_{GL})\end{array}\right)$ = $r_{rr}\cdot \left(\begin{array}{c}sin{\phi }_{GL}\\ -cos{\phi }_{GL}\end{array}\right)$ ・・・(15)

$\overrightarrow{A_{ft}{G}_{fr}}$ = $r_{fr}\cdot \left(\begin{array}{c}cos(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\phi }_{GL})\\ sin(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\phi }_{GL})\end{array}\right)$ = $r_{ft}\cdot \left(\begin{array}{c}sin{\phi }_{GL}\\ -cos{\phi }_{GL}\end{array}\right)$ ・・・(16)

である。また、G/LはFrタイヤ＆Rrタイヤの双方の接線が故、(15)(16)ベクトルはG/Lに直角、つまり

$\overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}\cdot \overrightarrow{G_{rr}{G}_{ft}}=\overrightarrow{A_{ft}{G}_{ft}}\cdot \overrightarrow{G_{ft}{G}_{rr}}=0$

さてこれに、Frのタイヤ半径（ $r_{ft}$ ）とRrのタイヤ半径（ $r_{rr}$ ）を使えば、Fr＆Rrタイヤの任意の位置における$O_0-X_0{Z}_0$ 上のG/L の傾き ${\phi }_{GL}$ が算出できる。

まず、直角三角形 ⊿$A_{rr}Grr{G}_{ft}$ に着目する。（Fr/Rr どちらでも構わないが、ココではRr側を使う）

G/LはFrタイヤ＆Rrタイヤの双方の接線となる事、またベクトルの内積は投影である事を利用すれば、Rrアクスルを基点にもつ二つのベクトル $\overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}$ と $\overrightarrow{A_{rr}{G}_{ft}}$ の内積は（ベクトル同士のなす角は $\psi$ ）、

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}\cdot \overrightarrow{A_{rr}{G}_{ft}}& =|\overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}|\cdot |\overrightarrow{A_{rr}{G}_{ft}}|\cdot cos\psi \\ & =r_{rr}\cdot r_{rr}\\ & =r_{rr}^2\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(17)\end{array}$
(∵ $\angle A_{rr}{G}_{rr}{G}_{ft}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ より、$|\overrightarrow{A_{rr}{G}_{ft}}|\cdot cos\psi =r_{rr})$

が成立している事がわかる（図⑥の橙ベクトル同士の内積）。これを利用する(注記あり)。

図⑥の緑ルート上のベクトルに分解すれば

$\begin{array}{rl}{r}_{rr}^2=\overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}\cdot \overrightarrow{A_{rr}{G}_{ft}}& =(\overrightarrow{A_{ft}{G}_{ft}}+\overrightarrow{O_0{A}_{ft}}–\overrightarrow{O_0{A}_{rr}})\cdot \overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}\\ & =\overrightarrow{A_{ft}{G}_{ft}}\cdot \overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}+\overrightarrow{O_0{A}_{ft}}\cdot \overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}–\overrightarrow{O_0{A}_{rr}}\cdot \overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(18)\end{array}$

これに成分値をいれれば、${\phi }_{GL}$ ($–{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq {\phi }_{GL}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ) に関する関係式が出てくる。つまり、

$\begin{array}{rl}{r}_{rr}^2& =\overrightarrow{A_{ft}{G}_{ft}}\cdot \overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}+\overrightarrow{O_0{A}_{ft}}\cdot \overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}–\overrightarrow{O_0{A}_{rr}}\cdot \overrightarrow{A_{rr}{G}_{rr}}\\ r_{rr}^{\cancel{2}}& =r_{ft}\cdot \left(\begin{array}{c}sin{\phi }_{GL}\\ -cos{\phi }_{GL}\end{array}\right)\cdot \cancel{r_{rr}}\cdot \left(\begin{array}{c}sin{\phi }_{GL}\\ -cos{\phi }_{GL}\end{array}\right)\\ & +\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Aft}}\\ z_{0_{Aft}}\end{array}\right)\cdot \cancel{r_{rr}}\cdot \left(\begin{array}{c}sin{\phi }_{GL}\\ -cos{\phi }_{GL}\end{array}\right)–\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Arr}}\\ z_{0_{Arr}}\end{array}\right)\cdot \cancel{r_{rr}}\cdot \left(\begin{array}{c}sin{\phi }_{GL}\\ -cos{\phi }_{GL}\end{array}\right)\\ & =r_{ft}\cdot (si{n}^2{\phi }_{GL}+co{s}^2{\phi }_{GL})+(x_{0_{Aft}}\cdot sin{\phi }_{GL}–z_{0_{Aft}}\cdot cos{\phi }_{GL})–(x_{0_{Arr}}\cdot sin{\phi }_{GL}–z_{0_{Arr}}\cdot cos{\phi }_{GL})\\ & =r_{ft}–(x_{0_{Arr}}–x_{0_{Aft}})\cdot sin{\phi }_{GL}+(z_{0_{Arr}}–z_{0_{Aft}})\cdot cos{\phi }_{GL}\end{array}$

つまり、

$(z_{0_{Arr}}–z_{0_{Aft}})\cdot cos{\phi }_{GL}–(x_{0_{Arr}}–x_{0_{Aft}})\cdot sin{\phi }_{GL}=(r_{rr}–r_{ft})$

ここで、$a_z=z_{0_{Arr}}–z_{0_{Aft}}$ , $a_x=x_{0_{Arr}}–x_{0_{Aft}}$ , $a_r=r_{rr}–r_{ft}$ とおけば、これは

$a_z\cdot cos{\phi }_{GL}–a_x\cdot sin{\phi }_{GL}=a_r$ ・・・(19)

であり、 $sin\alpha ={\displaystyle \frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_z^2}}}$ , $cos\alpha ={\displaystyle \frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_z^2}}}$ となる角度αを設定すれば、正弦の加法定理が使える。

つまり、(19)式は

$\sqrt{a_x^2+a_z^2}(sin\alpha \cdot cos{\phi }_{GL}–cos\alpha \cdot sin{\phi }_{GL})=a_r$ となり

$sin(\alpha –{\phi }_{GL})={\displaystyle \frac{a_r}{\sqrt{a_x^2+a_z^2}}}$ ・・・(20)

となる。これから

$\alpha –{\phi }_{GL}=arcsin({\displaystyle \frac{a_r}{\sqrt{a_x^2+a_z^2}}})$

よって、

${\phi }_{GL}=\alpha –arcsin({\displaystyle \frac{a_r}{\sqrt{a_x^2+a_z^2}}})$ ・・・(21)

により ${\phi }_{GL}$ が求まる。式から見ての通り、タイヤ径が同じ ($a_r=0$) であれば前後アクスル軸の位置の差がそのままG/Lの傾き（まぁ、当然か。。）

注記1：角度αについて

(20)式がシンプルになったので、あれ？と思い図を書いてみた。

計算前に一旦下の図に気づいていれば、ベクトル計算は不要だったかもなぁと。。。G/Lの角度出すだけだし。。。

ちゃんちゃん。。と。
（まぁ、思いつかなくてもベクトル使えば求まるという事で。。）

G/Lを基準とした座標系とその変換： (Step4)

（計算 Step4）

さて、算出した${\phi }_{GL}$ を使った回転行列 $R_{{\phi }_{GL}}$ で $O_0-X_0{Z}_0$ を変換すれば、G/Lを基準とした新規座標系 $O_0-X_1{Z}_1$ が設定できる。（＝ 任意位置の前後タイヤの接線を結んだG/Lを基準にした座標系。）

回転行列 $R_{{\phi }_{GL}}$ は、$R_{{\phi }_{GL}}$ = $\left(\begin{array}{cc}cos{\phi }_{GL}& sin{\phi }_{GL}\\ –sin{\phi }_{GL}& cos{\phi }_{GL}\end{array}\right)$ ・・・(22) であることから、

もとの座標系 $O_0-X_0{Z}_0$上の任意点 $(x_0,z_0)$ を $O_0-X_1{Z}_1$ 上へ変換した点 $(x,z)$ は、

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}x\\ z\end{array}\right)& =R_{{\phi }_{GL}}\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ z_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos{\phi }_{GL}& sin{\phi }_{GL}\\ –sin{\phi }_{GL}& cos{\phi }_{GL}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ z_0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}cos{\phi }_{GL}\cdot x_0+sin{\phi }_{GL}\cdot z_0\\ –sin{\phi }_{GL}\cdot x_0+cos{\phi }_{GL}\cdot z_0\end{array}\right)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(23)\end{array}$

これが変換のベース。これに後はベクトルの足し算引き算で、G/L基準の座標系での車両諸元値が求まる。

（回転行列詳細については、以下の記事に）

4. 座標変換と回転行列 オイラー角の入り口まで

回転行列の中身を再度。方向余弦を使って導く。まずは、図的に理解しやすい平面(2次元）の回転行列（2x2 行列)からはじめて、立体空間（3次元）向け の回転行列（ 3x3 行列 ) へと話をすすめる。とりあえず3次元の回転行列までおさえておけば、空間上の物体の動きは計算できるようになる（オイラー角とかとか）。。

hibikoreshonichi.com

2025.04.14

G/L基準の車両諸元算出 (Step5)

(計算の流れ：Step5)

G/L基準のキャスター角

さてここまでこれば、あと少し。まずは、以下の図⑦をベースに。

$O_0-X_1{Z}_1$ 上でのキャスター角 ${\theta }_c$ は、$O_0-X_0{Z}_0$ での ${\theta }_{0c}$ に ${\phi }_{GL}$ を足すだけ。

${\theta }_c$=${\theta }_{0c}+{\phi }_{GL}$ ・・・(24)

G/L基準のホイールベース計算

⑤式で使った Frアクスル座標 $\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Aft}}\\ z_{0_{Aft}}\end{array}\right)$, ⑭式で使った Rrアクスル座標 $\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Arr}}\\ z_{0_{Arr}}\end{array}\right)$ を使う。（共に $O_0-X_0{Z}_0$ 上の座標 ）

ここで、$O_0-X_1{Z}_1$ 上での Frアクスル座標を $\left(\begin{array}{c}{x}_{Aft}\\ z_{Aft}\end{array}\right)$ 、Rrアクスル座標を $\left(\begin{array}{c}{x}_{Arr}\\ z_{Arr}\end{array}\right)$ とすれば、(23)式をつかって

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}_{Aft}\\ z_{Aft}\end{array}\right)& =R_{{\phi }_{GL}}\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Aft}}\\ z_{0_{Aft}}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}cos{\phi }_{GL}\cdot x_{0_{Aft}}+sin{\phi }_{GL}\cdot z_{0_{Aft}}\\ –sin{\phi }_{GL}\cdot x_{0_{Aft}}+cos{\phi }_{GL}\cdot z_{0_{Aft}}\end{array}\right)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(25)\end{array}$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}_{Arr}\\ z_{Arr}\end{array}\right)& =R_{{\phi }_{GL}}\left(\begin{array}{c}{x}_{0_{Arr}}\\ z_{0_{Arr}}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}cos{\phi }_{GL}\cdot x_{0_{Arr}}+sin{\phi }_{GL}\cdot z_{0_{Arr}}\\ –sin{\phi }_{GL}\cdot x_{0_{Arr}}+cos{\phi }_{GL}\cdot z_{0_{Arr}}\end{array}\right)\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(26)\end{array}$

となる。

さて、ホイールベース $wb$ はG/L方向のアクスル軸間の長さとなるため、$x$座標同士を引けばよいだけ。

よって、

$\begin{array}{rl}wb& =x_{Arr}–x_{Aft}=(cos{\phi }_{GL}\cdot x_{0_{Arr}}+sin{\phi }_{GL}\cdot z_{0_{Arr}})–(cos{\phi }_{GL}\cdot x_{0_{Aft}}+sin{\phi }_{GL}\cdot z_{0_{Aft}})\\ & =cos{\phi }_{GL}\cdot (x_{0_{Arr}}-x_{0_{Aft}})+sin{\phi }_{GL}\cdot (z_{0_{Arr}}-z_{0_{Aft}})\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(27)\end{array}$

にて、G/L基準のホイールベースが算出できる。

G/L傾き ${\phi }_{GL}$ の算出の時に使った(20)式内 の $a_x=x_{0_{Arr}}–x_{0_{Aft}},a_z=z_{0_{Arr}}–z_{0_{Aft}}$ を再利用し、あわせて $cos\alpha ={\displaystyle \frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_z^2}}}$ , $sin\alpha ={\displaystyle \frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_z^2}}}$ も使えば

$\begin{array}{rl}wb& =\sqrt{a_x^2+a_z^2}(cos\alpha \cdot cos{\phi }_{GL}+sin\alpha \cdot sin{\phi }_{GL})\\ & =\sqrt{a_x^2+a_z^2}cos(\alpha –{\phi }_{GL})\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(28)\end{array}$

(27)式で十分だが、(21)式と同じ ( $\alpha –{\phi }_{GL})$ が使えるので、こっちの方が普通かも。。
（面倒な計算せずとも上図を描けば、（28）式に直接たどりつける。。。）

G/L基準のトレール

つづいて、$O_0-X_1{Z}_1$ において、$H/P$ 軸 (ステアリング軸) を延長し$G/L$ と交わる点を点 $G_{tr}$ (= $\left(\begin{array}{c}{x}_{Gtr}\\ z_{GL}\end{array}\right)$ ) として、$O_0-X_1{Z}_1$におけるトレール長 $tr$ ($=|\overrightarrow{G_{tr}{G}_{ft}}|$) (G/L基準) を求める。

$\overrightarrow{G_{tr}{G}_{ft}}$ は、原点$O_0$と、(25)式 のFrアクスル軸 $A_{ft}$ 使えば、