オイラーの公式を導く
前回の記事は、オイラーの公式 ：eiθ = cosθ + i sinθ ・・・① の見方と使い方の例について書いた。
今回はそのオイラーの公式の導き方。
つまり、右辺の”eiθ”と左辺の ”cosθ + i sinθ” が等しい事を説明
オイラーの公式は、基本
- 指数関数と 三角関数の等式化
であるが、これを結びつける時に、eの指数関数と三角関数が持つ性質と、マクローリン展開（級数展開）を利用している。
本記事はこの部分を詳細に。。。
ちなみに、結論から言えば、eiθ、cosθ 、 i sinθをそれぞれマクローリン展開して
これを使って、”eiθ” と ”cosθ + i sinθ” が等しい事を述べているに過ぎないが、この導入過程が、微分、指数関数、三角関数、ネイピア数、虚数の特徴を、これでもかというぐらいうまーく利用している。
それぞれが別世界で定義されたものとは思えない感じ。まぁ。。とにかく、うまい事できている。
（複雑なパズルがきれいに組み合わさった時のすっきり感さえある。）
まずは、それぞれの性質から。。
ネイピア数の指数関数 \( e^\theta \)、虚数 i、三角関数 (cosθ 、sinθ)の各性質
ネイピア数の指数関数 eθ、三角関数 (cosθ 、sinθ)、虚数 i の各性質について、今回のオイラーの公式の導入に必要なトコロだけざっくりと。まずは使われている各特徴から
ネイピア数の指数関数 \(e^θ \) の微分の性質
まず、ネイピア数 を使った指数関数 eθ 。
これは微分に対して、非常に特別な性質を持っている。
何度微分しても形を変えない。つまりeθ のまま。。
・・・⑧
虚数のかけ算
虚数単位 i は、
・・・⑨
つまり i2= -1。
実数aに繰り返し i をかけていくと
a -> a・i -> -a ( = a・i・i) -> -a・i -> a
虚数 i を4回かけると元に戻る。
くるくる回る虚数の振る舞いについては、こちらにも少し。
三角関数の微分の性質
続いて、三角関数。
例えば、sinθの微分を繰り返すと
sinθ -> cosθ -> -sinθ -> -cosθ -> sinθ
こちらは、微分を4回繰り返すと元に戻る。
テイラーの定理からマクローリン展開まで
これらの各性質を踏まえ、オイラーの公式を導くのに必要な道具である級数展開のうち、テイラーの定理からはじめてマクローリン展開まで説明。
級数展開についての注記
級数展開というと面倒な感じがするが、要は
- ある数（関数）を数列の和（関数の和）で置き換える事
例えば
・・・②
とあれば、数字”１” の級数展開とは、②式の右辺（分数の足し算部分）を指す。
これをちょっと小難しく書くと。。。。
和を表すΣ も使って、（Snは関数ではなく定数”１”であるが）
・・・③
のように関数として書く。以降はこの書き方
テイラーの定理
マクローリン展開は、テイラー展開の限定版。このテイラー展開は、テイラーの定理から導かれる。
といった訳で、まずはテイラーの定理から
テイラーの定理
f(x)は、n回微分可能で連続である時
・・・④
となる a <ｃ< x が存在する。
この時の最後の項 
・・・⑤ をラグランジェの剰余項という。
何のこっちゃとなるが、、、つまり何を言っているかというと、
この定理は、
を使ってf(x)を級数展開していき（x=aを基点した微分を含む関数処理）した項を足していけば、その各項の関数の和としてできる関数はf(x) に近づいていきますよ、といっているのに加え
最後に辻褄合わせとして 
を、aの代わりにｃを使った微分値（a <ｃ< x）を最後の項（<-剰余項）として加えてやれば、その関数の和としてできる関数は f(x)と一致しますよ 、と言っているにすぎない。
最後のつじつま合わせの項は、剰余項と呼ばれる。
（ちなみに、級数展開方法自体も様々なタイプがあり、剰余項にも様々なタイプがある）
さて、テイラーの定理をa=0で特化したのがマクローリンの定理。
テイラー展開とマクローリン展開
さて、n -> ∞ （無限級数）とした時に、剰余項Rnが Rn -> ０に収束する場合、 f(x)はこの級数展開で置き換える事ができることになる。
(当然、Rnが0に収束せずに近似しきれないf(x)もある。)
ただ、Rn -> ０に収束する場合には、
・・・⑥
となり、これがテイラー展開によるf(x)の級数展開。
ついでに基点をa=0とした時
・・・⑦
これがマクローリン展開。
さて、指数関数eθ 、三角関数sinθ、cosθ のラグランジェの剰余項Rnは、n -> ∞ の時にRn -> ０に収束する。つまり、このマクローリン展開 を使って級数展開する事が可能。
（Rn -> ０は、ここでは既知として話を進める、証明は別途）。
さてここから、本題のオイラーの公式に。
オイラーの公式は、eθ 、sinθ、cosθ をマクローリン展開した級数の組合せで簡単に算出できる。
\(e^θ \) 、 \(e^iθ \)、 sinθ、cosθ のマクローリン展開
eθ 、sinθ、cosθのマクローリン展開を求めるのに、まずマグローリン展開
・・・⑦
の分子部分のf(n)(0) を、eθ 、eiθ 、sinθ、cosθ に関してまとめれば。。。
微分を4回繰り返す毎に元に戻る性質は全てにおいて共通している。これを使う。
上の表を参照にマクローリン展開の式に当てはめれば、 eθ 、eiθ 、sinθ、cosθの無限級数が簡単に出来上がり、
・・・⑨
・・・⑩
・・・⑪
・・・⑫
・・・⑬
虚数iを掛けあわせた⑩式⑬式はオイラーの公式算出用に使うため、ついでに追記。微分を4回繰り返すと元に戻る性質は、虚数の掛け算も4回繰り返すと元に戻る性質は同じ。
備忘録：⑨⑪⑫式のマクローリン展開結果
（Note: 0! =1）
オイラーの公式
さて、ここまで来たらオイラーの公式までたどり着くのは簡単。
（パズルがココですっきりと組み合わさる）
単純に⑩⑪⑬式をならべてみる。
・・・⑩
・・・⑪
・ ・・⑬
上の⑪式＆⑬式で赤の斜線部で消している項は”０”。つまりこれらは消える。
その上で⑪式と⑬式を足し合わせれば、⑩式が姿を現す。つまり ⑩ = ⑪ + ⑬ 。あらためて
eiθ = cosθ + i sinθ
オイラーの公式が導かれる。ちゃんちゃん。
追記
前回の記事にて
と書いたが、導入に級数展開をも使い、過去の蓄積された数学の各世界のそれぞれのルールを崩すことなく統一しているのが、オイラーの公式。
ここが”美しい”と言われる所以。
上のテイラー展開については、こちらの本がおススメ（実数・虚数についてのおススメ本と同じ）
オイラーの公式については、この本もおすすめ。。
流し読みとまではいかないが、読み物としても面白い。
