オイラーの公式を導く
前回の記事は、オイラーの公式 ：\( e^{i \theta}=cos \theta + i \cdot sin \theta \) ・・・① の見方と使い方の例について書いた。
今回はそのオイラーの公式の導き方。
右辺の ” \( e^{i \theta} \) ” と左辺の ” \( cos \theta + i \cdot sin \theta \) ” が等しい事の説明
オイラーの公式は、” ネイピア数 \( e \)の指数関数 と 三角関数 の等式化 ” 。
それぞれの関数をマクローリン展開（級数展開）し、微分時に各関数がもつ性質を上手に使い、右辺の \( e^{i \theta} \) と 左辺の \( cos \theta + i \cdot sin \theta \) が等しい事を証明している。
本記事はこの部分を詳細に。。。
ちなみに、結論から言えば \( e^{i \theta} \)、\( cos \theta \) 、\( i \cdot sin \theta \) をそれぞれマクローリン展開すれば、
\( \begin{align}
e^{iθ} &= \dfrac{1}{0!}θ^{0} + \dfrac{i}{1!}θ^{1} + \dfrac{-1}{2!}θ^{2} + \dfrac{-i}{3!}θ^{3} + \dfrac{1}{4!}θ^{4} + \cdots ・・・②\\
cos θ &= \dfrac{1}{0!}θ^{0} + \cancel{\dfrac{0}{1!}θ^{1}} + \dfrac{-1}{2!}θ^{2} + \cancel{\dfrac{0}{3!}θ^{3}} + \dfrac{1}{4!}θ^{4} + \cdots ・・・③ \\
i \cdot sin θ &= \cancel{\dfrac{0}{0!}θ^{0}} + \dfrac{i}{1!}θ^{1} + \cancel{\dfrac{0}{2!}θ^{2}} + \dfrac{-i}{3!}θ^{3} + \cancel{\dfrac{0}{4!}θ^{4}} + \cdots ・・・④ \\
\end{align} \)
② = ③ + ④、これを使って、 ” \( e^{i \theta} \) ” と ” \( cos \theta + i \cdot sin \theta \) ” が 等しい事を述べているに過ぎないが、この導入過程において、微分、指数関数、三角関数、ネイピア数、虚数の特徴を、これでもかというぐらいうまーく利用している。
それぞれが別世界で定義されたものとは思えない。とにかく、うまい。
（複雑なパズルがきれいに組み合わさった時のすっきり感さえある。）
この成立ちの背景を一通り記載。
eの指数関数 \( e^θ \)、三角関数 \( cosθ 、sinθ \)、虚数 \( i \) の 各性質
ネイピア数の指数関数 \( e^θ \) 、三角関数 \( cosθ \) 、\( sinθ \)、虚数 \( i \) の各性質について、今回のオイラーの公式の導入に必要なトコロだけざっくりと。まずは使われている各特徴から
ネイピア数\(e \)の指数関数 \(e^θ \) の微分の性質
まず、ネイピア数 を使った指数関数 \( e^θ \) 。
これは微分において、何度微分しても \( e^θ \) のままという特別な特徴を持っている。つまり形を変えない。
\( \dfrac{d}{dθ}(e^θ) = e^θ \)・・・⑤
三角関数 \( cosθ 、sinθ \) の微分の性質
続いて、三角関数。
例えば、\( sinθ \)の微分を繰り返すと
\( sinθ \) -> \( cosθ \) -> \( – sinθ \) -> \( – cosθ \) -> \( sinθ \)
こちらは、微分を4回繰り返すと元に戻る。
虚数 \( i \) のかけ算
虚数単位 \( i \) は、\( i = \sqrt{-1} \) つまり
\( i ^2 = -1 \) ・・・⑥
例えば、実数 \( a \) に繰り返し \( i \) をかけてみれば、
\( a \) -> \( a \cdot i \) -> \( -a \) (\( =a \cdot i ^2 \) ) -> \( -a \cdot i \) -> \( a \) (\( = -a \cdot i ^2 \) )
つまり、虚数 \( i \) を4回かけると元の実数に戻る。
くるくる回る虚数の振る舞いについては、こちらにも少し。
テイラーの定理 から マクローリン展開まで
これらの各性質を踏まえ、オイラーの公式を導くのに必要な道具である級数展開のうち、テイラーの定理からはじめてマクローリン展開まで説明。
級数展開とは
級数展開というと面倒な感じがするが、要は
- ある数（関数）を数列の和（関数の和）に置き換える事
-> 左辺の関数と別関数の無限級数の和である右辺が ”＝” で結ぶ事ができるトコロが肝
テイラーの定理
マクローリン展開は、テイラー展開の限定版。このテイラー展開は、テイラーの定理から導かれる。
といった訳で、まずはテイラーの定理から
これが何を言っているかというと、
この定理は、\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \) を使って\( f(x) \)を級数展開（x=aを基点した微分を含む関数処理）した項の（ｎ-１）個までの総和の最後のｎ個目として、その関数の和はf(x)と一致させる\( \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n \) ”項”が存在すると述べている。
（最後の項では、aの代わりにｃ（a <ｃ< x）を微分値に使う ）。
ちなみに、この最後のつじつま合わせの項は、”剰余項”と呼ばれる。
（ちなみに、級数展開方法自体も様々なタイプがあり、剰余項にも様々なタイプがある）
さて、このテイラーの定理を、a=0で特化したのがマクローリンの定理。
テイラー展開からマクローリン展開
さて、\( n → ∞ \) とした時に、剰余項 \(R_n \) が \(R_n → 0 \) に収束すれば、\( f(x) \) は剰余項なく無限級数展開で置き換える事ができることになる。( 当然、\(R_n \) が0に収束せずに近似しきれない \( f(x) \) もある。)
ただ、\(R_n → 0 \)に収束する場合には、⑥式は
\( f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{∞} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \) ・・・⑧
となり、これがテイラー展開による \( f(x) \) の級数展開。
加えて、基点を \( a=0 \)とした
\( f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{∞} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \) ・・・⑨
これがマクローリン展開。
さて、指数関数 \(e^θ \) 、三角関数 \(sinθ \)、\(cosθ \) のラグランジェの剰余項 \(R_n \) は、\(n → ∞ \)の時に \(R_n → ０ \) に収束する。つまり、このマクローリン展開 を使って級数展開する事が可能。
（\(R_n → ０ \) は、ここでは既知として話を進める、証明は別途）。
さてここから、本題のオイラーの公式に。
オイラーの公式は、\(e^θ \) 、 \(sinθ \)、\(cosθ \) をマクローリン展開した級数の組合せで簡単に算出できる。
\(e^θ \) 、\(sinθ \)、\(cosθ \) のマクローリン展開
\(e^θ \) 、\(sinθ \)、\(cosθ \) のマクローリン展開を求めるのに、まず関数 \(f(θ)\) のマグローリン展開
\( f(θ) = \displaystyle \sum_{n=0}^{∞} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}θ^n \) ・・・⑧
の分子部分 \( f^{(n)}(0) \) を調べると、上述の各性質から
- \( f(θ) \) が \(e^θ \) であれば、１のまま
- \( f(θ) \) が \(sinθ \) であれば、\( 1 → 0 → -1 → 0 \) の循環
- \( f(θ) \) が \(cosθ \) であれば、\(0 → 1 → 0 → -1 \) の循環
となっている事がわかる。それぞれに虚数 \( i \) を組み合わせれば以下（下図）
（虚数を組み合わせてもこれらの関数において、4回繰り返すと元に戻るという事がポイント）
すべて、微分を4回繰り返す毎に元に戻る性質は共通している。これを使う。
上の表を参照にマクローリン展開の式に当てはめれば、\(e^θ \) 、 \(e^{iθ} \)、 \(sinθ \)、\(cosθ \) の無限級数が簡単に出来上がり、
\( \begin{align}
\color{gray}{e^{θ}} &= \color{gray}{\dfrac{1}{0!}θ^{0} + \dfrac{1}{1!}θ^{1} + \dfrac{1}{2!}θ^{2} + \dfrac{1}{3!}θ^{3} + \dfrac{1}{4!}θ^{4} + \cdots ・・・②’}\\
e^{iθ} &= \dfrac{1}{0!}θ^{0} + \dfrac{i}{1!}θ^{1} + \dfrac{-1}{2!}θ^{2} + \dfrac{-i}{3!}θ^{3} + \dfrac{1}{4!}θ^{4} + \cdots ・・・②\\
cos θ &= \dfrac{1}{0!}θ^{0} + \cancel{\dfrac{0}{1!}θ^{1}} + \dfrac{-1}{2!}θ^{2} + \cancel{\dfrac{0}{3!}θ^{3}} + \dfrac{1}{4!}θ^{4} + \cdots ・・・③ \\
\color{gray}{i \cdot cos θ} &= \color{gray}{\dfrac{i}{0!}θ^{0} + \cancel{\dfrac{0}{1!}θ^{1}} + \dfrac{-i}{2!}θ^{2} + \cancel{\dfrac{0}{3!}θ^{3}} + \dfrac{i}{4!}θ^{4} + \cdots ・・・③’} \\
\color{gray}{sin θ} &=\color{gray}{ \cancel{\dfrac{0}{0!}θ^{0}} + \dfrac{1}{1!}θ^{1} + \cancel{\dfrac{0}{2!}θ^{2}} + \dfrac{-1}{3!}θ^{3} + \cancel{\dfrac{0}{4!}θ^{4}} + \cdots ・・・④’} \\
i \cdot sin θ &= \cancel{\dfrac{0}{0!}θ^{0}} + \dfrac{i}{1!}θ^{1} + \cancel{\dfrac{0}{2!}θ^{2}} + \dfrac{-i}{3!}θ^{3} + \cancel{\dfrac{0}{4!}θ^{4}} + \cdots ・・・④ \\
\end{align} \)
オイラーの公式
さて、ここまで来たらオイラーの公式までたどり着くのは簡単。（パズルがココですっきりと組み合わさる）
単純に上から②③④式を引っ張り出せば、冒頭の ②＝③+④ が成り立っている事がわかる
\( \begin{align}
e^{iθ} &= \dfrac{1}{0!}θ^{0} + \dfrac{i}{1!}θ^{1} + \dfrac{-1}{2!}θ^{2} + \dfrac{-i}{3!}θ^{3} + \dfrac{1}{4!}θ^{4} + \cdots ・・・②\\
cos θ &= \dfrac{1}{0!}θ^{0} + \cancel{\dfrac{0}{1!}θ^{1}} + \dfrac{-1}{2!}θ^{2} + \cancel{\dfrac{0}{3!}θ^{3}} + \dfrac{1}{4!}θ^{4} + \cdots ・・・③ \\
i \cdot sin θ &= \cancel{\dfrac{0}{0!}θ^{0}} + \dfrac{i}{1!}θ^{1} + \cancel{\dfrac{0}{2!}θ^{2}} + \dfrac{-i}{3!}θ^{3} + \cancel{\dfrac{0}{4!}θ^{4}} + \cdots ・・・④ \\
\end{align} \)
で、、
\( e^{i \theta}=cos \theta + i \cdot sin \theta \) ・・・①
オイラーの公式が導かれる。ちゃんちゃん。
追記
前回の記事にて
と書いたが、導入に級数展開をも使い、過去の蓄積された数学の各世界のそれぞれのルールを崩すことなく統一しているのが、オイラーの公式。
ここが”美しい”と言われる所以。
上のテイラー展開については、こちらの本がおススメ（実数・虚数についてのおススメ本と同じ）
オイラーの公式については、この本もおすすめ。。
流し読みとまではいかないが、読み物としても面白い。
