座標軸の定義
まずは、目の前の3次元の世界で考えていく
（こむずかしくいえば3次元のユークリッド空間を考えていく）。
ちなみに、高次のユークリッド空間は定義を拡張して、次元を増やしていくだけなので、ここでは詳細割愛。
直交座標系の規則
さて、解析において座標系を設定する時の規則を以下に
（JISでもISOでも同じ定義）
直行系
座標軸の各軸は全て互いに直行 （各軸は互いに影響しない）
右手系
三次元における３つの軸は右手系で定義 (右手の指で定義)
- x軸:親指
- y軸:人差し指
- z軸:中指
(指先の方向が正)
右ねじ系
回転方向の正負は、右ねじ系で定義
回転の正方向とは、各軸の正方向と右ねじが進む方向(時計回り)を合わせたときに、ねじが進む回転方向が正
例えば
- z軸まわりの回転は、x軸->y軸方向の回転が正
- x軸まわりの回転は、y軸->z軸方向の回転が正
- y軸まわりの回転は、z軸->x軸方向の回転が正
複数の座標系
空間上の座標系は一つである必要はない。
グローバル座標（絶対空間の定義）、ローカル座標（その空間内を移動する物体に固定された座標）と、複数設定可能。
座標表示
ｎ次元空間上の任意の点の各軸の成分表示として、
- 列方向：\( \left ( \begin{array}{c}
a_{0}\\
a_{1} \\
\vdots\\
a_{n}
\end{array} \right ) \)
もしくは、
- 行方向：\( \left ( a_{0},~a_{1},~\ldots,~a_{n} \right ) \)
で表し、これは列ベクトル、行ベクトルと同じ表記。
例えば、3次元空間上の任意の点のxyz座標は、\( \left ( \begin{array}{c}
x\\
y \\
z
\end{array} \right ) \) もしくは \( \left (x,~y,~z \right ) \) となる。
極座標表示：ピタゴラスの定理から三角関数、極座標表示への展開
ピタゴラスの定理
三角関数の導入前にピタゴラスの定理から、
ピタゴラスの定理
直角三角形OABの直角をはさむ二辺の二乗の和(a2 + b2)は、斜辺の二乗(c2)に等しい
つまり
a2 + b2 = c2・・・①
これは図を使った証明が直感的にはわかりやすいかと（右図）。
”底辺と高さが等しければ、長方形（正方形）と平行四辺形の面積は同じ” をメインに使っている。
右図でいえば
- ”辺OA（長さ a）を一辺とする正方形の面積と平行四辺形①の面積（肌色）が等しいこと” に加え、”肌色の面積同士（①と①’）が等しいこと”
- ”辺AB（長さ ｂ）を一辺とする正方形の面積と平行四辺形②の面積（薄みどり）が等しいこと”に加え、”薄みどり面積同士（②と②’）が等しいこと”
- 辺OB（長さ c）を一辺とする正方形の面積は①’と②’を足した面積と等しい。
これがピタゴラスの定理の図解的な理解の流れ
＜一応詳細＞
まず△OABの各辺a,b,cを長さにもつ正方形を各辺上に作成しておく。
次に、点Ｂを通りＯＡに直行する線を引く、これと並行に点Oを通る直線を引き、OAの辺上にaを長さにもつ正方形と高さを合わせた平行四辺形①を作成する。（高さが等しいので正方形と平行四辺形①の面積（肌色①）は同じ）
さてここで、OAの下の⊿OABと合同な三角形（薄青色）から斜辺長ｃ（赤字）を使い、①と①’を比べれば、同じ底辺長（赤字c）、同じ高さのため①と①’の面積（肌色同士）は等しい。
同様にAB上の薄みどり同士もcを底辺とした同じ高さをもつ四角形同士で②と②’は面接同一。さて、①‘と②’を足し合わせた面積は、定義からｃを一辺にもつ正方形と等しい。
これからOAから作成した正方形の面積 axa と 辺ABから作成した正方形の面積 bxb の二つを足し合わせた面積は、辺OBから作成した正方形の面積 ｃxｃ と等しい。
つまり①式となる。
三角関数と円
さて、前述のピタゴラスの定理で使用した直角三角形OAB の辺OAと辺OBのなす角をθとして、三角関数の定義を行う。
これを利用すれば
\(a = c\cdot cosθ \) , \( b =c\cdot sinθ \) ・・・②
これをピタゴラスの定理（①式）に代入すれば、
\( (c\cdot cosθ)^2+ (c \cdot sinθ)^2=c^2 \) 、両辺からｃが消えるので
これも cosθ と sinθ の基本的な関係式としてよく見る（が、とどのつまりがピタゴラスの定理と同義）
極座標
さて、x-y座標系にて点Rの座標を \( \left ( \begin{array}{c}
x\\
y \end{array} \right ) \) とし、
- 原点Oと点Rの距離：r
- x軸とORのなす角：θ
を導入すれば\( \left ( \begin{array}{c}
x\\
y \end{array} \right ) \) は、右図を参照に②式（三角関数の定義）を使えば、
この \( \left ( \begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right ) \)を r とθ の２変数で表したものを極座標という。
r を一定にθのみを変えていく点は、中心からの一定の距離ｒを保った点の軌跡、つまり円。
今回もまた極座標の成分(④式)を、①式のピタゴラスの定理に当てはめれば
\(x^2+y^2= (r \cdot cosθ)^2+(r \cdot sinθ) ^2= r^2 ( cos^{2}θ+ sin^{2}θ) = r^2 \)
\(x^2+y^2= r^2 \) <- 円の公式
極座標表示 (r, θ) にて、θ を一定に ｒ を変えていけば点の軌跡は直線を描き、ｒ と θ を共に変えていけば曲線を描く。
追記
結局、ピタゴラスの定理も、sin2θ ＋ cos2θ =1 の関係式も、円の方程式（x2 + y2 = r2）も、見方を変えてその特徴を別表現しているだけ。
ちなみに、極座標とわざわざ宣言して使用されているわけではなく、特に曲線/円を描く場合に、x成分、y成分表示として、式の中に普通に紛れ込んでいる。
