10乗数の指数が小数を持つとき
前の記事は、指数の四則演算と指数の分数・小数・マイナスについて
この中で以下を踏まえる事と、
あわせて、小数点以下の指数が示す値をざっくりと覚えておけば
102.7 <- だいたい500ぐらい、、、
104.3 <- だいたい20,000ぐらいかな
と、イメージできる様になると書いた。
例えば102.6は、
- 102.6＝100.6+2 ＝100.6x 102・・・①
から、”100.6（≒ 3.9810・・・）を100倍（102倍）”した値。
よって 102.6≒ 398.1
こんな感じで、元の値が大体わかるようになる。
で、その時に使う”指数の小数点以下の値の目安”はこれ↓
\( \small 10^{0} ~~ ＝1.0000・・・( 10^\frac{0}{10}= \sqrt[10]{10^0} \) )
\( \small 10^{0.1}＝1.2589・・・( 10^\frac{1}{10}= \sqrt[10]{10^1} \) )
\( \small 10^{0.2}＝1.5849・・・( 10^\frac{2}{10}= \sqrt[10]{10^2} \) )
\( \small 10^{0.3}＝1.9952・・・( 10^\frac{3}{10}= \sqrt[10]{10^3} \) )
\( \small 10^{0.4}＝2.5119・・・( 10^\frac{4}{10}= \sqrt[10]{10^4} \) )
\( \small 10^{0.5}＝3.1623・・・( 10^\frac{5}{10}= \sqrt[10]{10^5} \) )
\( \small 10^{0.6}＝3.9811・・・( 10^\frac{6}{10}= \sqrt[10]{10^6} \) )
\( \small 10^{0.7}＝5.0119・・・( 10^\frac{7}{10}= \sqrt[10]{10^7} \) )
\( \small 10^{0.8}＝6.3096・・・( 10^\frac{8}{10}= \sqrt[10]{10^8} \) )
\( \small 10^{0.9}＝7.9433・・・( 10^\frac{9}{10}= \sqrt[10]{10^9} \) )
\( \small 10^{1.0}＝10.000・・・( 10^\frac{10}{10}= \sqrt[10]{10^{10}} \) )
見ての通り指数部分の小数部は一定割合の増加しても、その乗数が示す値の増加は一定割合ではない（指数関数）。
上の例のとおり10の乗数の
・指数部分：0.3ぐらい -> 元の値：だいたい 2 （100.3≒２）
・指数部分：0.7ぐらい -> 元の値：だいたい 5（100.7 ≒ 5）
・指数部分：0.9ぐらい -> 元の値：だいたい 8（100.9≒ 8）
桁内の真ん中の ”５”が指数を使うと”0.7”ぐらい、と覚えておけば、そこそこ指数の値から元の値をざっくりイメージできるようになる（かな）。
追記１：任意の値を10の乗数（小数点付き）で表す
（同じ例（398.1）を使い、）10進法の桁毎で書くと
- 398.1 ＝ 3ｘ102 + 9ｘ101 + 8ｘ100 + 1ｘ10-1・・・②
（102の位:3、101の位:9、100の位:8、10-1の位:1）
前章にて
- 398.1 ＝102.6＝100.6x 102・・・①
（102の位:100.6）
と書いたが、①式を②式と同じようにみれば、①式は元の値を102の位のみで表し、かつその102の位の値は100.6（10のべき乗）にて表示したもの、としているだけ。
これを、
- 398.1≒ １ｘ102.6・・・②
とかけば、 小数点まで使えば”指数のみにて任意の値が表現できる”事がわかる（この例だと10の2.6乗）。
また、この指数部分のみで任意の値を表したのが対数。
追記2：対数もついでに
常用対数（log10X）について少し追記。
同じ例をつかえば、398.1は102.6…の位の値と等しい。つまり任意の値は指数部分のみでも表現する事が可能。
これを表現するのが対数、log10398.1≒2.6と表す <-これが常用対数
この見方で、10を底にもつ常用対数（Y＝log10X）がイメージしやすくなる。（指数の四則演算の特徴がつかめていれば、対数の計算にもそれを元に考えればよいだけ。）
また、片対数グラフのY軸密度の偏りがありそれが繰り返すのは（下図参照）、整数部分は桁数を示しているだけなので、桁が上がる毎にリセットされて、密度の偏りが繰り返す（当たり前といえば当たり前）
（密度に偏りがあるのは、実数の時の数字の密度と指数表示にした時の密度に差があるため：100.7 ≒ 5と同じ話）
\( \small 10^{0} ~~ ＝1.0・・・・・( 10^\frac{0}{10}= \sqrt[10]{10^0} \) )
\( \small 10^{0.1}＝1.2589・・・( 10^\frac{1}{10}= \sqrt[10]{10^1} \) )
\( \small 10^{0.2}＝1.5849・・・( 10^\frac{2}{10}= \sqrt[10]{10^2} \) )
\( \small 10^{0.3}＝1.9952・・・( 10^\frac{3}{10}= \sqrt[10]{10^3} \) )
\( \small 10^{0.4}＝2.5119・・・( 10^\frac{4}{10}= \sqrt[10]{10^4} \) )
\( \small 10^{0.5}＝3.1623・・・( 10^\frac{5}{10}= \sqrt[10]{10^5} \) )
\( \small 10^{0.6}＝3.9811・・・( 10^\frac{6}{10}= \sqrt[10]{10^6} \) )
\( \small 10^{0.7}＝5.0119・・・( 10^\frac{7}{10}= \sqrt[10]{10^7} \) )
\( \small 10^{0.8}＝6.3096・・・( 10^\frac{8}{10}= \sqrt[10]{10^8} \) )
\( \small 10^{0.9}＝7.9433・・・( 10^\frac{9}{10}= \sqrt[10]{10^9} \) )
\( \small 10^{1.0}＝10.000・・・( 10^\frac{10}{10}= \sqrt[10]{10^{10}} \) )
（桁数が変わるたびに繰り返される）
指数の見方のときにも書いたが、実数には数字の密度の偏りはないが、それを指数表示にすると表示上の密度に偏りができる。この偏りと密度の繰り返しが、片対数グラフのy軸に現れる。
と、これが10の乗数を見る時のざっくり感覚（と対数）
ちなみに、”指数表示での値の密度 ” 対 ”実数表示での値の密度 ” の違いに対する感覚は、ある程度あるといいかもしれない。
（例えば、指数であるデジベル（dB）表示の値とか。。消音対策で、99dBから-2dB減衰と 93dBから-2dB 減衰では、同じ-2dB減衰でも実際に減衰させる音圧レベル違うよなぁ、、とかとかの感覚。）