はじめに
指数の足し算、引き算、かけ算、わり算ついては以下に。。
今回は10の乗数を見た時
102.7 <- だいたい500ぐらい、、、
104.3 <- だいたい20,000ぐらいかな。。。
と指数表示でも、ざっくり元の値がイメージができるようになる。
（対数を見るときもおなじ感覚）
さて、
先にざっくりとかいておけば、指数の整数部分と小数部分に分けて見ればよい。たとえば、
102.6＝100.6+2 ＝100.6x 102
とかけば、”100.6（≒ 3.9810・・・）を100倍（102倍）した値” である事がわかる。つまり、102.6 は 398.1ぐらい
桁数につかう整数部分は覚える必要はないので、数字のならびを示す小数部分の目途がたてば、元の値が大体わかる（この場合、100.6の数字の並び（100.6≒ 3.9810・・・））。
小数部分を含めた10の乗数が示す値の大きさを以下に。これが目途
\( \small 10^{0} ~~ ＝1.0・・・・( 10^\frac{0}{10}= \sqrt[10]{10^0} \) )
\( \small 10^{0.1}＝1.2589・・・( 10^\frac{1}{10}= \sqrt[10]{10^1} \) )
\( \small 10^{0.2}＝1.5849・・・( 10^\frac{2}{10}= \sqrt[10]{10^2} \) )
\( \small 10^{0.3}＝1.9952・・・( 10^\frac{3}{10}= \sqrt[10]{10^3} \) )
\( \small 10^{0.4}＝2.5119・・・( 10^\frac{4}{10}= \sqrt[10]{10^4} \) )
\( \small 10^{0.5}＝3.1623・・・( 10^\frac{5}{10}= \sqrt[10]{10^5} \) )
\( \small 10^{0.6}＝3.9811・・・( 10^\frac{6}{10}= \sqrt[10]{10^6} \) )
\( \small 10^{0.7}＝5.0119・・・( 10^\frac{7}{10}= \sqrt[10]{10^7} \) )
\( \small 10^{0.8}＝6.3096・・・( 10^\frac{8}{10}= \sqrt[10]{10^8} \) )
\( \small 10^{0.9}＝7.9433・・・( 10^\frac{9}{10}= \sqrt[10]{10^9} \) )
\( \small 10^{1.0}＝10.000・・・( 10^\frac{10}{10}= \sqrt[10]{10^{10}} \) )
見ての通り指数部分の小数部が一定割合で増えたとしても、その乗数が示す値の増加は一定割合ではない。上の例のとおり
・10の乗数の指数部分が0.3ぐらいで、だいたい 2 （100.3≒２）
・10の乗数の指数部分が0.7ぐらいで、だいたい真ん中の 5（100.7 ≒ 5）
・10の乗数の指数部分が0.9ぐらいで、だいたい 8（100.9≒ 8）、
もうちょっと丁寧に
10乗数の指数が小数を持つとき（例：102.6）
再度、小数をもつ指数の計算においては、整数部分と小数部分の足し算と捉える。
先にも書いたが、
102.6＝100.6+2 ＝100.6x 102
の指数の足し算。この表記は
”100.6（≒ 3.9810・・・）を100倍（102倍）した値”
つまり、102.6 ≒ 398.1
- 小数点以下の指数は（10進法の）数字の並び：100.6≒ 3.9810・・・
- 整数部分の指数は桁数： 102＝100倍
とする事によって、10進法での値”398.1”を表現している。
一般的には10進法の値398.1は
398.1 ＝ 3ｘ102 + 9ｘ101 + 8ｘ100 + 1ｘ10-1
が桁数別の表記。
これに対して、小数点込みの指数で一括表示でするのもありで、
398.1 ≒ 102.6
つまり、398.1は ”10進法で2.6桁の数 （＝102.6）”とも表現できる。
追記
こういう見方をしておくと、常用対数（Y＝log10X）がイメージしやすくなる。
上の例でいえばXが398.1でYが2.6。対数は桁数、小数点以下が数字の並びで繰り返すと覚えておけばよい。
これは、片対数グラフのY軸密度の偏りが桁数ごとに繰り返している事で見る事ができる。
\( \small 10^{0} ~~ ＝1.0・・・・・( 10^\frac{0}{10}= \sqrt[10]{10^0} \) )
\( \small 10^{0.1}＝1.2589・・・( 10^\frac{1}{10}= \sqrt[10]{10^1} \) )
\( \small 10^{0.2}＝1.5849・・・( 10^\frac{2}{10}= \sqrt[10]{10^2} \) )
\( \small 10^{0.3}＝1.9952・・・( 10^\frac{3}{10}= \sqrt[10]{10^3} \) )
\( \small 10^{0.4}＝2.5119・・・( 10^\frac{4}{10}= \sqrt[10]{10^4} \) )
\( \small 10^{0.5}＝3.1623・・・( 10^\frac{5}{10}= \sqrt[10]{10^5} \) )
\( \small 10^{0.6}＝3.9811・・・( 10^\frac{6}{10}= \sqrt[10]{10^6} \) )
\( \small 10^{0.7}＝5.0119・・・( 10^\frac{7}{10}= \sqrt[10]{10^7} \) )
\( \small 10^{0.8}＝6.3096・・・( 10^\frac{8}{10}= \sqrt[10]{10^8} \) )
\( \small 10^{0.9}＝7.9433・・・( 10^\frac{9}{10}= \sqrt[10]{10^9} \) )
\( \small 10^{1.0}＝10.000・・・( 10^\frac{10}{10}= \sqrt[10]{10^{10}} \) )
これが桁数が変わるたびに繰り返される。
ちなみに、実数で言うところの真ん中の5は大体 5 ≒ 100.7、つまり指数表示では0.7と結構上によっている。
-> 実数に数字の密度の偏りはないが、それを指数表示にすると表示上の密度に偏りができる
参考：偏りと密度の繰り返し具合は、片対数グラフのy軸に見る事ができる
と、これが10の乗数を見る時のざっくり感覚
”指数表示での値の密度 ” 対 ”実数表示での値の密度 ” の違いに対する感覚は、ある程度あるといいかもしれない。
（例えば、指数であるデジベル（dB）表示の値とか。。 99dBから-2dB減衰と 93dBから-2dB 減衰では対策の大変さって違うよなぁ、、とかとかの感覚。）
