[e:ネイピア数] “e” についての覚書2：対数の微分

オイラー大先生が対数を微分する中で、100年以上前に数学者ネイピア伯が対数研究の中で計算した式が入っている事を見つけ、ネイピア数 ”\(e \)” として 微積体系に組み込こんだ。

この ”\(e \)” を使う事により、微積の世界の繋がり具合がぐっとわかりやすくなるので覚書化。

ちなみに、”ｅ”解釈（定義式からの解釈）については、以下の覚書にて

[e:ネイピア数] "e" についての覚書1：ネイピア数 "e" とは何か？ 定義式から読み解く “e＝2.718…”の意味

“増えた分もまた増える”という複利のイメージと、ネイピア数 e の定義式をたどることで、その式が意味するところのひとつの見方を。e の値がなぜ出るのか、数学的な背景と直観的な理解をつなげる覚書。

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2025.11.24

さて、まずは ”\(e \)” を使うと簡易化される対数の微分のから

対数 \( f(x) = log_a x \) の微分

\( f(x) = log_a x \) の微分 （ \( f(x) = a^x \) の逆関数）をしてみる

\( \begin{align}
f'(x) = \dfrac{dy}{dx} & = \dfrac{d}{dx} log_a x \\[6pt]
&= \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \dfrac{log_a (x+h)- log_a x}{h} \\[6pt]
&= \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \dfrac{1}{h} \log_a \dfrac{(x+h)}{x} = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \dfrac{1}{h} \log_a (1+ \dfrac{h}{x}) \\[6pt]
&= \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \log_a (1+ \dfrac{h}{x}) ^{\frac{1}{h} } ・・・①\\[6pt]
\end{align} \)

ここで、\( t = \dfrac{h}{x} \) とすると \( h = tx \) 、\( h → 0 \) で \( t → 0 \) をふまえれば ①式は

\( \begin{align}
f'(x) =\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \log_a (1+ \dfrac{h}{x}) ^{\frac{1}{h} } & = \displaystyle \lim_{ t \to 0 } \log_a (1+ t) ^{\frac{1}{tx} } \\[6pt]
& = \displaystyle \lim_{ t \to 0 } \log_a \left\{ (1+ t) ^{\frac{1}{t} }\right\} ^{\frac{1}{x} } \\[6pt]
& = \displaystyle \dfrac{1}{x} \lim_{ t \to 0 } \log_a (1+ t) ^{\frac{1}{t}}・・・② \\[6pt]
(& = \displaystyle \dfrac{1}{x} \log_a ( \lim_{ t \to 0 } (1+ t) ^{\frac{1}{t}} )\\[6pt]
\end{align} \)

ここの \( t → 0 \) の \( (1+ t) ^{\frac{1}{t}} \) の式をみて、ネイピア伯が対数研究で使用した式が入っている事に気づいたのが、オイラー大先生、 この式の極限値を”ｅ” 定義した。

この極限値を②式に当てはめれば、

\( \begin{align}
f'(x) = ( log_a x)’ &= \dfrac{1}{x} log_a e ・・・③ \\[6pt]
&= \dfrac{1}{x} \dfrac{log_e e}{log_e a} \ (← 対数の底をa → e に変換)\\[6pt]
&= \dfrac{1}{x \cdot log_e a}・・・④
\end{align} \)

となる。

対数 \( g(x) = log_e x =ln \ x \) の微分

対数の底が \(a=e\) の場合、式はもっと簡素になる。④式より

\( \begin{align}
g'(x) = ( log_e x)’ &= \dfrac{1}{x \cdot log_e e} \\[6pt]
&= \dfrac{1}{x}・・・⑤
\end{align} \)

ついでに ”e” を底にした対数表示 (\(ln \)) を使っておくと（ \(ln \ Z =log_e Z \) )

\( \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{ln \ (1+x)}{x} = 1 \) の求め方

イロイロと使われている（ \(e^x \) の導入とか）、 \( \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{ln \ (1+x)}{x} = 1 \) の求め方もついでに

上の ”\( ln \ x \) の微分” と ”平均値定理”を使用する。

<平均値の定理>

\(f(x)\) が 区間 \( [a,b] \)で連続で微分可能な関数であるとき

\( f'(s) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \)

となる \(s\) が、\(a\) と \(b\) の間に存在する。

(\( a → 1, b → (1+x) \) に書き換えて )

関数 \( h(x)= ln \ x \) に平均値定理を使えば、\(1\ ～ \ (1+x) \) の間に \( s \) が

\( \dfrac{ln \ (1+x) – \ ln \ 1}{(1+x)-1} = h’ (s) \)

にて存在する。

さて、ここで\(ln \ 1 = 0 \) である事、 また \( h’ (x)= (ln \ x)’= \dfrac{1}{x}\) より \( h’ (s)＝\dfrac{1}{s} \) を使えば、

\( \begin{align}
\dfrac{ln \ (1+x) – ln \ 1}{(1+x)-1} &=\dfrac{ln \ (1+x)}{x}\\[6pt]
&= \dfrac{1}{s} \ (= h’ (s))
\end{align} \)

\(s \) は \(1～x \) の間にある事から、 \( x → 0 \) に伴い \( ｓ\) は \( ｓ → 1 \) に落ちる。

\( h(x)’= \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{ln \ (1+x)}{x} = \displaystyle \lim_{ s \to 1 }\dfrac{1}{s} = 1 \)

よって、

以上