はじめに
\(sin x \) と \(cos x \)のたし算・ひき算、つまり\( a \cdot cos x ± b \cdot sinx \) の型の三角関数は、\( \sqrt{a^2+b^2} \cdot cos(x ̠∓ θ ) \) の形に”常に“変形できる。
例えば、\( \sqrt{3}cos x + sinx \) であれば、辺 \( {１};{２};\sqrt{3} \) で底辺を \( \sqrt{3} \) の直角三角形を頭の中に浮かべればよい。
（この場合、θ=30°= \(\dfrac{\pi}{6}\) 。）
この三角形の値をあてはめて、 \( \sqrt{3}cos x + sinx = 2 cos(x ̠- \dfrac{\pi}{6} ) \) とすればよい。
↓この三角形から読み取る
その仕組みを以下に。。
単に加法定理にひと手間加えているだけなので、見方としては下の記事と同じ
まずはたし算から
a・cos x + b・sinx の型のたし算
\(cos x \) と \(sin x \) のたし算の前に、まず係数の \( a \) 、\( b \) の見方から。
BCの線分長を \( a \) 、CAの線分長を \( b \)にとり、斜辺AB \( {\sqrt{a^2+b^2}} \) とした直角三角形ABCの∠ABC＝θとする。 (下図参照）。
このθが、\( \left ( \begin{array}{c}
cos θ\\
sin θ \end{array} \right ) =\left ( \begin{array}{c}
\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array} \right ) \) である事と加法定理を使って、\( a \cdot cos x ± b \cdot sinx \) の式展開を行う。
つまり \( \vec{m} \) を 、\( \vec{m} =\left ( \begin{array}{c}
a \\
b \end{array} \right ) ={\sqrt{a^2+b^2}} \left ( \begin{array}{c}
\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array} \right ) = {\sqrt{a^2+b^2}} \left ( \begin{array}{c}
cos θ\\
sin θ \end{array} \right )\) で、 \( \vec{n} \) を \( \vec{n}
=\left ( \begin{array}{c}
cos x\\
sin x \end{array} \right ) \) とすれば、
\( \begin{align}
\vec{m} \cdot \vec{n} &= a\cdot cosx + b \cdot sinx \\[6pt]
&={\sqrt{a^2+b^2}} \cdot (cos θ\cdot cosx + sin θ \cdot sinx) <-ここで加法定理を使い\\[6pt]
&= {\sqrt{a^2+b^2}} \cdot cos(x-θ)
\end{align} \)
この式展開の一行目と三行目が求める式。つまり、
\( a\cdot cosx + b \cdot sinx= {\sqrt{a^2+b^2}} \cdot cos(x-θ) \) ・・・①
図にかけばこんな感じ
要は、\( a \cdot cos x + b \cdot sinx \) のそもそもは\( \vec{n} \) と \( \vec{m} \) の内積の成分計算。
これを” \( \vec{n} \) “と” \( \vec{m} \) の単位ベクトル “の内積を使う事で加法定理を使い、あとから \( {\sqrt{a^2+b^2}} \) 倍して (\( \vec{m} \)の大きさ分元に戻して)いるだけ。
a・cos x – b・sinx の型のひき算
つづいて、\(cos x \) と \(sin x \) のひき算、つまり\( a \cdot cos x – b \cdot sinx = a \cdot cos x +(- b) \cdot sinx\) とみれば、たし算と同じ。
\( a \) と \( b \) の見方、θは同じ。\( \vec{m} \) とは逆に \( -β \) 方向に回転させたベクトルを \( \vec{k} \) とする。
\( \vec{k} \) は 、\( \vec{k} =\left ( \begin{array}{c}
a \\
-b \end{array} \right ) ={\sqrt{a^2+b^2}} \left ( \begin{array}{c}
\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
\dfrac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array} \right ) = {\sqrt{a^2+b^2}} \left ( \begin{array}{c}
cos θ\\
-sin θ \end{array} \right )\) となり、 \( \vec{n} \) はたし算と同じ \( \vec{n}
=\left ( \begin{array}{c}
cos x\\
sin x \end{array} \right ) \) を使えば、
\( \begin{align}
\vec{k} \cdot \vec{n} &= a\cdot cosx – b \cdot sinx \\[6pt]
&={\sqrt{a^2+b^2}} \cdot (cos θ\cdot cosx – sin θ \cdot sinx) <-ここで加法定理を使い\\[6pt]
&= {\sqrt{a^2+b^2}} \cdot cos(x+θ)
\end{align} \)
この式展開から、
\( a\cdot cosx – b \cdot sinx= {\sqrt{a^2+b^2}} \cdot cos(x+θ) \) ・・・②
が確認できる。図に書けばこんな感じ
さいごに
\( sin(x ̠± θ ) \)に落としたい時は、a.bを入れ替えて \( θ → θ+\dfrac{\pi}{2} \) と見てやれば同じ計算。
つまりこの三角形
\( cos(\dfrac{\pi}{2} – θ) = sinθ \)、\( sin(\dfrac{\pi}{2} – θ) = cosθ \) をふまえれば、
\( \begin{eqnarray} a = \sqrt{a^2+b^2} \cdot cos( \dfrac{\pi}{2} – θ) = \sqrt{a^2+b^2} \cdot sinθ \\[6pt]
b = \sqrt{a^2+b^2} \cdot sin(\dfrac{\pi}{2} – θ)= \sqrt{a^2+b^2} \cdot cosθ
\end{eqnarray} \)
より、
\( \begin{align}
a\cdot cosx + b \cdot sinx &= \sqrt{a^2+b^2} \cdot (sinθ \cdot cosx + cosθ \cdot sinx) \\[6pt]
& = \sqrt{a^2+b^2} \cdot sin(x+θ)
\end{align} \)
の式展開から出てくる。\( sin(x ̠- θ ) \) も同じ三角形を使えば、cosの時と同じ。
以上