実数の世界は、有理数と無理数で成り立つ
実数は”個々の存在そのものに連続性という極限概念がある”、、なんて聞くと何だ？? となるが、簡単にいえは、
- ”数字は切れ目なく連続して繋がっている”
という事。
以下が実数の連続性の意味
ちなみに、実数は有理数＆無理数からなっており、、
- 無理数は無理な数じゃなくて、”理数が無い数”（無・理数）。
- 有理数は”理数が有る数”（有・理数）
実数の世界は、”理数”のあり/なしの二つで分類されている。
じゃぁ、理数って何だ？で、覚書
有理数と無理数は比で表現できるかどうか
で、有理数は Rational Number の訳。 つまり比（Ratio）で表現できる数。
で、ここでの比とは、
- ベースとなる値 \( a \) に対するある値 \( b \) の比の事。
つまり \( \dfrac{b}{a} \) であらわす事ができる数（\( a \) , \( b \) は整数で互いに素、\( a≠0 \) ）。
なんだ、有理数ってざっくりいうと、分数って事かい。
ちなみに、\(a=1\) の場合は整数。
で、反対に、無理数は 比（分数）で表現できない数
（Ir-rational number）。
（有比数 ＆ 無比数とかで訳しておけばいいのに。。。）
例えば、平方根とかπとかｅとか
つまり ”有理数、無理数の区別は、分数の形で表すことができるかどうか”だけ
（もちろん整数を使った分数）。
まとめれば、
- 有理数
：分数で表現できる数（Rational Number） - 無理数
：分数で表現できない数（Irrational number）
実数起点で分類すると（分数観点）
図でかけばこんな感じ
無理数は実数からみると多数派
さて、有理数は実数全体からすると、分数であらわされる数字でなければならないので、特殊な性質をもった数字のグループ
ある意味特殊部隊。無理数枠に入る数字の方が主流派。
実数はすべて無限小数としておく
整数も含め有理数も、全部無限小数とみる（有理数、無理数かかわらず、実数はすべて連続であるの極限概念を持つことから）
例えば、”１”はたまたま”１”と表記できるだけであって、
ホントは1.000・・・である と。
としてしまえば、
- 実数は全て無限小数
- 有理数：循環する無限小数
- 無理数：循環しない無限小数
の基準のみ
再度、実数起点で分類（無限小数観点）
有理数と無理数の違い
まとめなおせば、以下。
再度
- 有理数は全て”循環する無限小数” ：（何桁かの）同じ数字が無限に繰り返す
- 無理数は全て”循環しない無限小数：不規則な数字が無限に続く
-> 小数が循環すると有理数、循環しないと無理数
この有理数/無理数に区別がない事が、実数すべてに ”連続性という極限概念がある” 事への理解の手助けとなるかと。
実数の世界
再度、実数は ”連続性という極限概念を持つ” とは、
”実数軸上の点の集合（数直線）であり、切れ目なくつながっている連続した点の集合”
ということ。
連続性を持つことから、実数としての点は一点のみ存在するが、値を表すとき小数点は無限に続く数字というのが本来の姿。
一見、整数のように切りのいい数字に見えても、実数の世界では、小数点以下に0が無限に続いている（1 -> 1.000・・・）。
← 切りがよく見えるのは、この小数点以下の0を省略している過ぎない。
加えて、有理数だけでは実数の世界は成り立たない（連続性）。無理数が加わってはじめて実数の世界が成り立ち、隙間のない実数の連続性を保たせている。
この感覚が普通になってくると、１＝0.999・・・と聞いても違和感がなくなってくる
追記
無理数は、毎度、一匹狼的に特殊な有用な数字と個別に導入されるから、かなりとっつきにくい。
（平方根とか円周率πとか自然対数のネイピア数ｅとかとか）。
目にするのは有益な無理数にのみで、これらに記号が与えられている（πとかeとかルート記号（√）等々）。
無限小数は、整数/分数の様に簡略表現できないので、一つの記号で表示できるようにしている。（１とか1/2とか書いているのと差はない。）
目にする無理数は個別（特別）扱いされている事もあって、わかりやすい整数 → 有理数から入ると印象悪し。。ただ、正確に表記できない無理数は無限に存在。。。
