ねじ 1)-5. 斜面の定理と摩擦角について (基礎)

はじめに

軸力の計算時に用いるねじ面にかかるトルクの計算には、”斜面の定理”と ”摩擦角” を利用する。

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さて、非常に基本的なトコロなんだけど、式の中で斜面の角度に摩擦角が混ざると、あれ。。なんでだっけ？となった記憶があるので再整理。

まずは摩擦角

摩擦角：ρ₀

斜面上の物体で、この摩擦角の意味を再度。

重力をF、この時の摩擦力をM、斜面に垂直方向に働く物体の反力をN、静止摩擦係数をμ、斜面の角度ρとして、斜面上の物体に作用する力を図示すれば

斜面をずり落ちる方向に働く力E以上に摩擦力Mが働いていれば、物体は斜面上に停止する（E＜Mである）

ここで、斜面の角度自体が上がっていく場合を想定してみる。

この時、物体がずり落ちる瞬間の斜面の角度をρ₀とする。力の釣り合いは E＝M、つまり

F・sinρ₀ =μ・F・cosρ₀ より

μ= F・sinρ₀ / F・cosρ₀ = tan ρ₀

これが摩擦角。つまり、静止摩擦係数μは、斜面の角度 ρ₀ の正接 ” tanρ₀” で表すことができる。

斜面の定理と摩擦角

さて、 今度は斜面角θ をもつ斜面上に物体が停止しているとする。つまり θ ≦ ρ₀

また、静止摩擦係数μは前章と同じとする（ μ= tan ρ₀ ）。

この状態から物体を押し上げる（下げる）ために必要な力Uを考える。
（ここで、Uは水平方向で設定 ∵ねじトルクにより発生する力が水平方向のため）。

物体を斜面に沿って押し上げる時にかける水平方向の力U

物体を押し上げるために加える水平方向の力をUとする

この力Uと重力Fとの合力をSとする。
このSの反力の斜面直方向の分力をNとし、Sの反力とNのなす角をρとする。

図示をすれば

である。

この時、FとUは U＝ F tan( θ + ρ) であり、

• 斜面方向のSの分力Qは、Q = S sinρ
• 摩擦力Mは、M = μN = tan ρ₀・S cosρ
  （N=S cosρ、μ= tan ρ₀より）

である。

ここでUを増加させる。

Q≧Mとなれば 物体が動き始める。

上記の式を代入すれば、S sinρ ≧ tan ρ₀・S cosρ を満たすとき。整理して、

• tanρ ≧ tan ρ₀ （ρは斜面を前提にしているので、0≦ρ≦π/２）

つまり、水平方向の力Uの増加に伴って増加する角度ρが、摩擦角ρ₀以上になった瞬間に、物体は動き出す。

これから物体が動き出す時のFとUの関係は、上図の中のρがρ₀となった時。つまり

• U＝ F tan( θ + ρ₀)

を満たす事。

さてこの先、これがねじ面の軸力計算に展開される（F：軸力 ＆ U：トルクにより発生する力）。
（もう一工夫必要ではあるが（後述））。

また押し上げる時の式は、締結で言えばねじを締める時の関係式のベースになる。

ついでに物体を斜面に沿って押し下げる場合も

物体を斜面に沿って押し上げる時にかける水平方向の力U

考え方は同じ。図示すれば、

同様にQ≧Mの時、物体が動き出す。この時のFとUの関係は、

• U＝ F tan( – θ + ρ₀)

この物体を押し下げる時の式は、締結で言えばねじを緩める時の関係式のベースになる。

ねじ面における斜面の定理

さて上述の関係式を、ねじ面に展開をするのにちょっややこしいのは、上述のような斜面が一つの傾斜角θではなく、

• ねじの山角 から導かれる斜面角度：α
• ねじのリード角：β

の合成した角度の斜面となっている事。（バンク角のついた坂道みたいなもの）

この合成した角度の斜面上において、物体を押し上げる関係式（水平方向にかける力UとFの関係）が必要。

ちょっと長くなりそうなので、次の記事にて