はじめに
“e”の定義式は
定義式からの”e”の解釈については、
ここから抜粋すれば、”e”は、
\( e=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+\dfrac{1}{n})^{n} \)
解釈の記事の ”\(e\)” の式展開では、利率 \(r=1\) としたため \(r\) の居所が見えにくくなったが、今回はその居所を表にだす。これが、 ”\(e^x \)” にたどり着く。
解釈の記事内の⑪式 \(S_∞ =\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a \cdot (1 + \dfrac{r}{n})^n \) の \(r\) を \(x \) で置き換え、\(a=1 \) とすれば、
\(S_∞= \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1 + \dfrac{x}{n})^n \) ・・・①
この式から始める。
流れは、①式の右辺に対数をつかって式展開し \(e^x \) を求める。
そこから元の式の解釈をふまえ ” \(e^x \) ” と指数部分の \(x \) の意味するトコロを覚書化。
\( S_∞ = e^x \) にたどり着くのに、ひと工夫要
以下がその式展開
\(e^x \) の 導入
①式の右辺に \(e\) を底とした対数(\(ln \))をとる（ \(ln \ Z =log_e Z \) )
\( \displaystyle \lim_{ n \to \infty } ln (1 + \dfrac{x}{n})^n = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } n \cdot ln (1 + \dfrac{x}{n}) \) ・・・②
ここで、\( t = \dfrac{x}{n} \) (\( n= \dfrac{x}{t} \) )とし 、\( ｎ → ∞ \) のとき \( t → 0 \) である事をふまえれば、②式は
\( \begin{align}
\displaystyle \lim_{ n \to ∞ } n \cdot ln (1 + \dfrac{x}{n}) &= \displaystyle \lim_{ t \to 0 } \dfrac{x}{t} \cdot ln(1+t) \\[6pt]
&= \displaystyle \lim_{ t \to 0 } \dfrac{ln(1+t)}{t} \cdot x =x
\end{align}\)
( ∵ \( \displaystyle \lim_{ t \to 0 } \dfrac{ln(1+t)}{t}=1 \) (←下に抜粋、覚書はこちら) )
つまり、
\( \begin{align}
\displaystyle \lim_{ n \to ∞ } ln (1 + \dfrac{x}{n})^n =& x ・・・③ \\[6pt]
\end{align}\)
③式の左辺で∞に飛ぶのは \(n \) で ( \( n→∞ \) ) 対数の真数部分 \( (1 + \dfrac{x}{n})^n \) 、 \( x = ln \ e^x \) を踏まえれば、③式は
\( \begin{align}
\displaystyle ln ( \lim_{ n \to ∞ }(1 + \dfrac{x}{n})^n ) =& ln \ (e^x) \\[6pt]
\end{align}\) ・・・④
より、元の①式から \(x\) を外にひねり出した関数 \(e^x \) をもとめる事ができる。
④式から
\( e^x = \displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 + \dfrac{x}{n})^n \)・・・⑤
となる。
元の①式の意味をふまえれば、”\(x\) ” は複利計算の仕組み（増加した分もその増加に組み込まれながら全体が増加する構造）でいうトコロの利率と同じ意味。
∵ \( \displaystyle \lim_{ t \to 0 } \dfrac{ln(1+t)}{t}=1 \) の抜粋は以下。
< \( \displaystyle \lim_{ t \to 0 } \dfrac{ln(1+t)}{t}=1 \) について >
関数 \( f(x)= ln \ x \) に平均値定理を使えば、\(1\ ～ \ (1+x) \) の間に \( s \) が
\( \dfrac{ln \ (1+x) – \ ln \ 1}{(1+x)-1} = f’ (s) \)
にて存在する。
さて、ここで\(ln \ 1 = 0 \) である事、 また \( f’ (x)= (ln \ x)’= \dfrac{1}{x}\) より \( f’ (s)＝\dfrac{1}{s} \) である事を使えば、
\( \begin{align}
\dfrac{ln \ (1+x) – ln \ 1}{(1+x)-1} &=\dfrac{ln \ (1+x)}{x}\\[6pt]
&= \dfrac{1}{s} \ (= f’ (s))
\end{align} \)
\(s \) は \(1～x \) の間にある事から、 \( x → 0 \) に伴い \(s\) は \( s → 1 \) に落ちる。
\( f(x)’= \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{ln \ (1+x)}{x} = \displaystyle \lim_{ s \to 1 }\dfrac{1}{s} = 1 \)
よって、
\( \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \dfrac{ln \ (1+x)}{x} = 1 \) ・・・⑥
ちなみに、”\(e^x \)” の微分の形が変わらない事 ( \( (e^x)’ = e^x\) ) を使えば、\(e^x \) は
\(e^ x= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!} \)
とも定義できる。覚書は
関数 \(e^x \) における \(x\) の作用
つまり、関数 ”\(e^x \)” における \(ｘ\) の示す意味（作用）は、複利計算でいう利率（＝増加力）。
これから、\(ｘ\) が変化する関数 \(e^x \) は、その増加力が変化する関数 とみる事ができる。
例えば、”\( x \) ”の増加にともなう関数 \(e^x \) の見方の例として、\( x =1、２ \) を例にとれば、
- \( x =1 \) : \(e^{\color{red}{1}}\)
→ <解釈> 期間Tで2倍になる一定の増加力（ \(\color{red}{1} \) = 100％(利率)) がかかる環境下では、期間T経過時の実増加率は約2.718倍 (＝ \(e^1 \)) になる - \( x =2 \) : \(e^{\color{red}{2}}\)
→ <解釈> 期間Tで3倍になる一定の増加力（ \(\color{red}{2} \) = 200％(利率)) がかかる環境下では、期間T経過時の実増加率は約7.389倍 (＝ \(e^2 \)) になる - ・・・
といった感じのイメージ。
（\( x \) が時間ｔで表してある関数といった例 ( \(e^{αｔ}\))であれば、時間ｔの経過に伴い ”増加力（利率）自体が増える環境下” での関数、とイメージするのもいける)
\(\dfrac{1}{e} \) について
\(e^x \) がわかれば、\(\dfrac{1}{e} \) も 簡単に求まるのでついでに。
⑤式に \(x=-1 \) を代入すれば、\( \displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 + \dfrac{-1}{n})^n =e^{-1} \) より
\( \dfrac{1}{e} = \displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 – \dfrac{1}{n})^n \) ・・・⑥
ちなみに、ネイピア伯が対数を求めるのに使用していた式はここの \((1 – \dfrac{1}{n})^n \) につながっている。
オイラー大先生がこの⑥式の \(\dfrac{1}{e} \) から導く事ができる \(\ e =\displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 + \dfrac{1}{n})^n \) が対数の微分の中で現れる事を発見し ”\(\ e \)” を微積の世界へと組み込み発展させた（という流れみたい）
（”ネイピア数”で検索をかけるとイロイロと情報がでてくるので、より正確なトコロはそちらを）
\(e \) について
⑤式の \(e ^x\) に \(x=1 \) を代入すれば、冒頭の \(e \) 。つまりは \(e^x \) の限定版。
さいごに
定義式の\( e ^{±１}=\displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 ± \dfrac{1}{n})^n \) の違いからみてとれる様に、\(e \) は増加方向、 \( \dfrac{1}{e} \) は減少方向の実倍率の意味をもつ。このふたつは方向が違うだけで率は同じ。
また、 \( e ^{±x}=\displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 ± \dfrac{x}{n})^n \) である事を踏まえれば。 極限の定義式内での\(x\) の意味するところが複利構造（増えた分も同時に増加する構造）でいう”率”を示す事を踏まえれば、 \( e ^{±x}\) の\(x \) の働きのイメージはつかみやすい。
以上