はじめに
微分を使用するマグローリン展開（級数展開）に、関数 \(e^ x\) の微分の形が変わらない事 \( (e^ x)’ = e^ x \) を利用すると、ちょっと工夫すれば\(e\) が別の形で定義できる。
ちなみに、マクローリン展開（テーラー展開の起点を０とした級数展開）とは以下
参考：<マクローリン展開>
\(\begin{align}
f(x) &= f(0) + f’ (0)(x) + \dfrac{f^{”} (0)}{2!}(x)^2 + \dfrac{f’^{”} (0)}{3!}(x)^3 + \cdots \\[6pt]
&= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n
\end{align} \)
級数（マクローリン展開込み）の覚書はこちら
まずは、\(e^ x\) のマグローリン展開
\(e^ x\) へのマグローリン展開の適用
\(e^ x = (e^ x)’ \) 、\(e^ 0 = 1 \) を使えば、常に \( f^{(n)}(0)= (e^x)^{(n)} =1\)
これをマグローリン展開にいれこめば
\(\begin{align}
e^ x &= 1 +x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + \cdots \\[6pt]
&= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}
\end{align} \)
つまり 級数展開からの \(e^ x\) は、
\(e^ x= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!} \) ・・・①
ちなみに、\(e^ x\) の 極限値からの定義（リンク） は
\( e^x = \displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 + \dfrac{x}{n})^n \)
見た目は、ちょっと違って見える
マグローリン展開からの \(e \) の定義
さて、話をもどして①式に \( x=1 \) を使えば、 \(e \) の別の定義。
①式に \( x=1 \) をいれるだけ。つまり、
\(e = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \) ・・・②
\(e^ x\) と同様に、\(e\) の極限値としての定義を書いておくと、
\( e=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+\dfrac{1}{n})^{n} \)・・・③
こちらも形は違うが②式と③式は等しく \(e\) であると。。。
マクローリン展開からの \(e \) の定義と極限からの \(e \) の定義が”等しい”事の確認（念のため）
（以下、総和の”\(\Sigma \)”にくわえ、総乗の”\(\Pi \)” も使って簡略記載)
参考：
総和：\( \displaystyle \sum_{ r = 1 }^n a_n = a_1 + a_2 + a_3 +\cdots + a_{n-1}+ a_n \)
総乗：\( \displaystyle \prod_{ r = 1 }^n a_n = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_{n-1} \cdot a_n \)
(例：\( \displaystyle \prod_{ r = 1 }^n r = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n = n! \) )
さて、②式も③式もそれぞれ定義として \(e \) を導いているので、②式と③式が等しいのは当然ではあるが、
- ②式: 根っこは\(e^x \)の微分が変わらない値である事を利用しての \(e \) ← 本記事
- ③式: 根っこは対数の微分で現れる式から定義された \(e \) ← こちらの記事（リンク）
③式から②式が導けるかなと 。。。念のための確認。
→ ③式を級数展開 (二項展開)し、その一般項をつかって等しい事を確認する流れ。
<二項展開>
\( \begin{align}
(a+b)^n &= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k} \\[6pt]
&= {}_{n}C_{0}\cdot a^{n}\cdot b^{0} + {}_{n}C_{1}\cdot a^{n-1}\cdot b+ {}_{n}C_{2}\cdot a^{n-2} \cdot b^{2}+ \cdots + {}_{n}C_{n}\cdot a^{0}\cdot b^{n}
\end{align} \)
\( \left( 注: \ {}_n C_k
= \dbinom{ n }{ k }
= \dfrac{ n! }{ k! \cdot ( n – k )!}
= \dfrac{ \displaystyle \prod_{ r = 1 }^n r }{ \displaystyle \prod_{ r = 1 }^k r \cdot \displaystyle \prod_{ r = 1 }^ {n-k} r} \ \right) \)
③式から抜き出した \( (1+\dfrac{1}{n})^{n} \) を二項展開すれば、
\( \begin{align}
(1+\dfrac{1}{n})^{n} =& \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_{k}\,\cancelto{1}{ (1)^{n-k}}(\dfrac{1}{n})^{k} \\[6pt]
=& \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_{k}\,(\dfrac{1}{n})^{k} ・・・④ \\[6pt]
=&{}_n C_0 \, {({\dfrac{1}{n}})^{0}} + {}_n C_1 \, {({\dfrac{1}{n}})^{1}} + {}_n C_2 \, {({\dfrac{1}{n}})^{2}}+\cdots + {}_n C_k \, {({\dfrac{1}{n}})^{k}}+\cdots + {}_n C_{(n)} \, {({\dfrac{1}{n}})^{n}} \\[6pt]
=& \dfrac{n!}{0! (n-0)!} \, {({\dfrac{1}{n}})^{0}} + \dfrac{n!}{1! (n-1)!} \, {({\dfrac{1}{n}})^{1}} + \dfrac{n!}{2! (n-2)!} \, {({\dfrac{1}{n}})^{2}}+\cdots + \dfrac{n!}{k! (n-k)!} \, {({\dfrac{1}{n}})^{k}}+\cdots + \dfrac{n!}{n! (n-n)!} \, {({\dfrac{1}{n}})^{n}} \\[6pt]
\end{align} \)
これをふまえ、この級数の一般項 \(a_k\) (= \( {}_n C_k \, {({\dfrac{1}{n}})^{k}} \) ) をとりだして中身をみれば、
\( \begin{align}
a_k={}_n C_k \, {({\dfrac{1}{n}})^{k}}=& \dfrac{n!}{k! (n-k)!} \, {({\dfrac{1}{n}})^{k}} \\[6pt]
=& \dfrac{1}{k!} \,\dfrac{\cancel{n}(n-1)\cdots (n-(k-1))\cdot \cancel{(n-k)!}}{\cancel{(n-k)!}} \, {({\dfrac{1}{n}})^\cancelto{k-1}{k}} ( ← この \dfrac{1}{n} の乗数を階乗の各因子に組み込めば ）\\[6pt]
=& \dfrac{1}{k!} \,(1-\dfrac{1}{n})(1-\dfrac{2}{n})\cdots (1-\dfrac{k-1}{n}) \\[6pt]
=& \dfrac{1}{k!} \displaystyle \prod_{ r = 1 }^{ｋ-1} (1-\dfrac{r}{n}) ・・・⑤ \\[6pt]
\end{align} \)
(k≧2、ちなみに \(\ k=0 \) の時は \( {}_n C_0 \, {({\dfrac{1}{n}})^{0}}=\dfrac{1}{0!} \) であり、\(k=1\) の時は \( {}_n C_1 {({\dfrac{1}{n}})^{1}}=\dfrac{1}{1!} \) ) ← 階乗のままの表示であれば場合分け不要
この一般項 \(a_k\) を無限大 (\(n → ∞\) ) に飛ばした時を考える。
（＝\(r\) は \(k\) の中で有限（\(r<k-1\)で \(k\) に依存する事から）\(r\)は有限である事をふまえ、⑤式の相乗部分を\(n → ∞\) にとばせば、 \( \dfrac{r}{n} → 0 \) から、\( \displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \prod_{ r = 1 }^{ｋ-1} (1-\dfrac{r}{n}) =1 \) 。
これをふまえれば、この一般項 \(a_k\) は
\( \begin{align}
\displaystyle \lim_{ n \to \infty }a_k=\displaystyle \lim_{ n \to \infty }{}_n C_k \, {({\dfrac{1}{n}})^{k}}=& \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \dfrac{1}{k!} \displaystyle \prod_{ r = 1 }^{ｋ-1} (1-\dfrac{r}{n}) \\[6pt]
=& \dfrac{1}{k!} \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \prod_{ r = 1 }^{ｋ-1} (1-\dfrac{r}{n}) \\[6pt]
=& \dfrac{1}{k!} ・・・⑥ \\[6pt]
\end{align} \)
に収束する。
さて、この時の \(a_k\) の総和は\( \displaystyle \sum_{k = 0 }^\infty ( \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_k ) =\displaystyle \sum_{k = 0 }^\infty ( \displaystyle \lim_{ n \to \infty }{}_n C_k \, {({\dfrac{1}{n}})^{k}} ) \) であり 、⑥式をふまえればこれは、
\( \displaystyle \sum_{k = 0 }^\infty (\displaystyle \lim_{ n \to \infty }{}_n C_k \, {({\dfrac{1}{n}})^{k}})= \displaystyle \sum_{ k = 0 }^\infty \dfrac{1}{k! } \) ・・・⑦
となる。
極限を求めるのに、（さきに各 \(k\) ごとに極限をとっておき）、\(k \ (k=0,1,2 \cdots,n) \) を固定しておけば、この時に無限大に飛ばすのは \(n \) のみとする事ができるので、（\(k\) に依存しない極限として \(n→∞ \) がとれる）
\( \begin{align}
\displaystyle \sum_{k = 0 }^\infty \displaystyle \lim_{ n \to \infty }{}_n C_k \, {({\dfrac{1}{n}})^{k}}=&\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k = 0 }^n {}_n C_k \, {({\dfrac{1}{n}})^{k}} ・・・⑧
\end{align} \)
が成立 。よって、⑦⑧式から
\( \begin{align}
\displaystyle \sum_{ k = 0 }^\infty \dfrac{1}{k! }=& \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k = 0 }^n {}_n C_k \, {({\dfrac{1}{n}})^{k}} \ \ (← これに④式をふまえれば) \\[6pt]
=& \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+\dfrac{1}{n})^{n} \ \ \text{(← ③式の定義式に一致)} \\[6pt]
=& \ e
\end{align} \)
以上により、②式と③式の定義式が等しいこと、つまり、
\( e= \displaystyle \sum_{ n = 0 }^\infty \dfrac{1}{n! } = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+\dfrac{1}{n})^{n} \)
(\(n→∞ \) に記載統一)
がいえる（覚書完了）。
ふむ、よく出来ているもんだわ。。