はじめに
級数展開というと少し難しそうに感じるが、要は
- ある条件を満たす関数を、規則に従った無限個の項の和（無限級数）として表すこと
肝は、”関数（値）である左辺” を、別の表現の無限級数の関数の極限として一致させることができること
数列から始まり無限級数へと進むが、最初は「これ、何に使うの？」と思うことも多い。しかし、数列（入口）からはじまる流れの”行き先のひとつ（目的地）”がこれ（↑）である。
さて、級数の特徴としては、
- 条件を満たす関数であれば、無限に足し合わせた簡単な項の和として表すことができる
- 例：振動データの周波数解析（フーリエ変換）
- 足し合わせていく事で精度がどんどん向上する（近似に使用可能）
- 例：画像フォーマットのJPEG
- 画像データを周波数成分（離散コサイン変換）に分解し、人が認識しにくい高周波成分を削減してデータ量を減らす
- 例：無理数の近似値算出（ 例：\( e \)、\( \pi \)、\( \sqrt{2} \)・・・）
- 例：画像フォーマットのJPEG
もちろん級数展開自体はそれぞれ異なるが、基本、
- 無限級数化し、余りを示す剰余項が “0” に収束するなら、元の関数を完全に再現できる
という考え方は同じ
級数展開の書き方
例えば
1 = \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots \) ・・・①
とあれば、数字”１” の（無限）級数展開とは、①式の右辺（分数の足し算部分）を指す。
これを和を表す Σ を使って書けば、
\( 1= \displaystyle \sum_{n=1}^{∞} \dfrac{1}{2^n} \)
のように書く。以降はこの書き方
テイラーの定理からはじめてテイラー展開、そこからのマクローリン展開
級数展開といえばテイラー展開、今回はテイラーの定理からはじめてテイラー展開、そこからマクローリン展開まで説明
（振動解析ではフーリエ級数を用いたフーリエ展開（変換）となるが、こちらは別途で（覚書化予定））。
テイラーの定理
マクローリン展開は、テイラー展開の限定版。
で、このテイラー展開は ”テイラーの定理” から導かれる。
というわけで、まずはテイラーの定理から
テイラーの定理
\( f(x) \)が、十分に微分可能な関数であるとき
\( f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +\dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n \) ・・・②
となる \( a <ｃ< x \) が存在する
また最後の項
\( R_n = \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n \) ・・・③
はラグランジェの剰余項と呼ばれる
Note1: \(f^{(n)}(x) \) : \( f(x) \) の n回微分
Note2: \(n! \) : \(n\)の階乗（\(= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n\) )
何をやっているのかを、別の言い方で表現してみれば、
- まずは（ｎ-１）個まで級数展開：
- 微分可能な関数 \( f(x) \) を、とりあえず \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \) を使って、（ｎ-１）個まで級数展開
- 級数展開の総和と、\( f(x) \) の一致：
- 最初の n−1 項までの級数と、残りの誤差を表す項（ラグランジュの剰余項）を加えることで、元の関数と完全に一致する
←残りの誤差を補正
- 最初の n−1 項までの級数と、残りの誤差を表す項（ラグランジュの剰余項）を加えることで、元の関数と完全に一致する
- このつじつま合わせの項 \( R_n \) で使用される \( ｃ \) が \( a <ｃ< x \) の間に必ず存在する、
と言っているのがテイラー定理。
つまり、
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \) で、微分可能な関数 \( f(x) \) を分解していき、最初の n−1 項までで関数を近似し、その誤差を表す項としてc（a<c<x）を用いた剰余項が存在することを利用すれば、この級数展開は元の関数 \( f(x) \) と完全に一致させることができる
という定理
この最後のつじつま合わせの項は、”剰余項”と呼ばれる
（ちなみに、級数展開方法自体も様々なタイプがあり、剰余項にも様々なタイプがある）
さて、このテイラーの定理の級数を無限級数化したのがテイラー展開。
テイラー展開
\( n → ∞ \) とした時に剰余項が\(R_n → 0 \) に収束する場合、\( f(x) \) は無限級数として表すことができる。
（最終的に剰余項が ”0” に収束するため）
（注：当然、\( n → ∞ \) で \(R_n \) が 0 に収束しない \( f(x) \) もあるので、全ての関数 \( f(x) \) に適用できるわけではない）
つまり、剰余項が \(R_n → 0 \) が確認できれば、②式は
\( f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{∞} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \) ・・・④
に置き換える事ができる。なお、この展開は 展開の基点 \(a\) の近くで特に良い近似になる。
これがテイラー展開の式。
（テイラー展開は、関数を多項式で近似する方法とも言える。一次までなら接線、二次までなら放物線、三次までなら三次曲線で元の関数を近似していくイメージである。）
マクローリン展開
加えて、テイラー展開の微分の基点を \( a=0 \) とすれば、
\( f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{∞} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \) ・・・⑤
この⑤式がマクローリン展開。要は、テイラー展開の限定版
さいごに
使われ方のイメージ用に、簡単な例を追記。。。
例えば
\(e^x \) は、\(n → ∞ \)の時剰余項は \(R_n → ０ \) に収束するので、マクローリン展開 が使用可能。
\(e^{x}=\dfrac{1}{0!}x^{0} + \dfrac{1}{1!}x^{1} + \dfrac{1}{2!}x^{2} + \dfrac{1}{3!}x^{3} + \cdots \)
これを利用すれば、\(e^x \)の近似式が簡単に求められる。次数が 3次の精度までとすれば、近似式は
\(e^{x}≒1 + x + \dfrac{1}{2}x^{2} + \dfrac{1}{6}x^{3} \)
となる。つまり \(e =e^1\) なので、この式に \(x=1 \) を代入すれば、
\(e ≒ 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}≒ 2.66 \)
（実際の値 \(e \)=2.71828・・・）
と \(e \) の近似値が求まる（値の精度を上げたい場合は、展開する項数を増やせばよい）。
なかなか便利。
ちなみに、\(sin\theta\)、\(cos\theta\)、\(e^{i\theta}\) にマクローリン展開をつかえば、オイラーの公式（\(e^{i\theta}=cos\theta+i\cdot sin\theta\) ）を導くことができる。
