はじめに
”e =2.718281828・・・” （ネイピア数、自然対数の底）の定義は
\( e=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+\dfrac{1}{n})^{n} \) ・・・①
だが、、あれ、これって何だっけ？ がきっかけの覚書。
円周率\(\pi \) であれば、直径に対する円の全周長を比で表したのが \(\pi = 3.1415・・・ \) とかの説明で十分、特にひっかかりなし。
だが、この ”\(e \)” については、ん、一言でいうと何だ？ 、あれ、そもそもこの定義の式の意味ってなんだっけ？と。。。
で、覚書化
”\(e \)” の値の語呂合わせ：
e =2.71828182845904523536・・・
(フナ一鉢二鉢しごく押し目に鮫山麓：め＝5)
\(e \)の定義式の仕組み
\(e \) が意味するトコロ（特別な値とされている背景等）より前に、まずは定義式の解釈から。
最初に書いておくと、定義式からの \(e \) の解釈をざっくりとかけば、
- 値の初期値を ”１”として、作用する増加力が、（期間 T で）2倍になる強度の環境下（率：100％）
- Tの期間中、値は常時増加し、増加した分も増加に組み込まれながら全体が増加する仕組み
の条件下において \(e=2.71828・・・\) は、期間 T 経過時の値の ”実増加率” をしめす
（初期値”１”なので率としておく）
と、\(e \) と式の仕組みがつながればイメージしやすくなるが、そもそもとっつきにくいのが \(e \)の定義式、
この式の仕組みを理解するためには、複利計算の仕組みを使うのが手っ取りばやい。
まずは、シンプルな単利計算から
（eの定義式の仕組みがこの段階から含まれている）。
→ 複利計算式の仕組み忘れていなければ、一気にとばして”e の定義式”へ
単利計算の式
清算回数：期間中1回
ここは簡単。
満期額の計算は、
満期金額＝元金+利子＝元金+（利率ｘ元金）
＝元金・（1+利率）
元金を\(a \)、利率を \(ｒ\times 100 \)（％）、利率の期間を\(Ｔ\)、期間 \(Ｔ\) 後の満期金額を \(S_{1(1)} \) とすれば、
\(S_{1(1)} = a + a \cdot ｒ= a \cdot (1 + ｒ) \) ・・・②
図にかけば、こんな感じ（当然、とてもシンプル）
当たり前だが、元金 \(a \) に \( (1 + ｒ)\) を掛ければ 満期額 \(S_{1(1)} \)
別の見方をすれば、\( (1 + ｒ) \) は、元金 \(a \) に対する実増加率
（<-この構造が \(e \) の意味の理解につながるので一応。。。複利計算でも同じ式が組み込まれていく）。
複利計算の式
さて、次は複利計算に入っていく。
清算回数：期間中2回
同じ利率 \(ｒ\times 100 \)（％）で期間 \(Ｔ\) も同じ。
ただし、半分の \(\dfrac{1}{2} \)T の期間経過時に、一度利子を清算 (預金額： \(S_{2(1)}\) )
次の期間はこの利子を加えた額 \(S_{2(1)}\) を加え、元金を増やして再度預金、満期時（期間\(Ｔ\) 経過時）に清算。
この満期時の預金額 \(S_{2(2)} \) を以下で計算する（複利計算）。
さて、一回目の清算時の預金額は、①と同じ式。
ただし、期間は \(\dfrac{1}{2} \)T 分となるため 利子は \( a\times \dfrac{r}{2} \)
よって、
\(S_{2(1)}= a (1 + \dfrac{r}{2})\) ・・・③
↑これが二回目の期間の元金。
満期時の預金額\(S_{2(2)} \) は③を元金として、
\(\begin{align}
S_{2(2)} &= a \cdot (1 + \dfrac{r}{2})+ a \cdot (1 + \dfrac{r}{2}) ・\dfrac{r}{2} \\[6pt]
&= a \cdot (1 + \dfrac{r}{2})^2 ・・・④
\end{align} \)
となる。
式を見るより、図で見た方が構造はわかりやすいかも。図に描くとこんな感じ
単利の時と同様④式の \( (1 + \dfrac{r}{2})^2 \) の部分は実増加率、元金\(a \)に対して何倍になるか？の係数。
(\( S_{2(2)} = a \times (実増加率) \))
清算回数：期間中3回
もう少し流れをはっきりさせるのに、3回清算も図にかいておく。
満期時の預金額は、
\(S_{3(3)}\) は、\(S_{3(3)} =a \cdot (1 + \dfrac{r}{3})^3 \) ・・・⑤
となる。
各清算回の式を、図に描けばこんな感じ 。
\( (1 + \dfrac{r}{3})^3 \) が組み込まれていく様子がわかる。
今までの計算と同様に、④式の \( (1 + \dfrac{r}{3})^3 \) の部分は、元金\(a \)に対して何倍になるか？の実増加率を示す係数
( \( S_{3(3)} = a \times (実増加率) \))
清算回数：期間中n回
さて、清算回数がｎ回になった場合を計算してみる
数列を使ってもよいし帰納法で証明しても良いが、上と同じように \( (1 + \dfrac{r}{n}) \) が組み込まれていくだけなので、ここでは以下の図で十分。
で、組み込まれる様子見ながら満期時の預金額 \(S_{n(n)} \) を下の図から算出
満期時の預金額は、
\(S_{n(n)} =a \cdot (1 + \dfrac{r}{n})^n \) ・・・⑥
ここでも、この⑥式の \( (1 + \dfrac{r}{n})^n \) は、元金\(a \) が満期時に何倍になるかの”実増加率” になっている
( \( S_{n(n)} = a \times (実増加率) \) ) ← これは変わらない。
以上が、利子が元金が組み込まれていく時の式の仕組み（構造）
e の定義式
さて、ここまでくれば既に \(e \) の定義式はみえてはいるが、一応。
⑤式にて
- 元金 \(a =1 \)
- 利率 \(ｒ=1\) （100％：期間Tで2倍）
とし、
- 清算回数ｎを無限大
とすれば \(e \) の式と一致
つまり、この場合の満期時の預金額 \(S_{\infty}\) は
\(S_{\infty}=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+\dfrac{1}{n})^{n} ＝e \) ・・・⑦
になる。これを計算すれば、\(S_{\infty}＝e = 2.71828・・・ \) となる
（⑦式が収束する事、値の算出はまた別途）。
ついでに、①式の \(e \) の定義式内では、同じ ”１” であるが故に ”初期値” と ”利率” が見えにくくなっているが、
\( e=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (初期値:)1 \times (1+\dfrac{(利率：)1}{n})^{n} \)
である。
↑ ⑦式内で、”１” である箇所が複数あるが、それぞれ別の意味がある
さてこの仕組みでとらえれば、最初に書いた
- 値の初期値を ”１”として、作用する増加力が、（期間 T で）2倍になる強度の環境下（率：100％）
- Tの期間中、値は常時増加し、増加した分も増加に組み込まれながら全体が増加する仕組み
の条件下にて、期間 T が経過した時その値は \(e = 2.71828・・・\)となる 。つまり e は ”実増加率” の意味をもつ
（初期値”１”なので率としておく）
単純例：100万円を年利100%（一年（期間T）で２倍）で運用したとすると、単利（一回清算）だと一年後に200万円。同じ年利でも頑張って毎日毎時間毎秒でも清算し続け増えた利子分をどんどん元金に組み込んでいけば、一年後には約271.8万円（＝100万円ｘ2.71828・・）に近づいていく。
また、肝は増加した分も増加に組み込まれながら全体が増加する仕組みが入っている事（複利計算の式の構造、昔ちゃんと理解しとけばよかった）。
→ 簡単に言えば、（回数を無限大に飛ばす事をのぞけば）①式の “e” の定義式は複利計算の限定版。なんて事ない。。。
追記
要は、増加した分も増加に組み込まれながら全体が増加する仕組みのモト、初期値を ”１” 、期間 Tで ”2倍” になる増加力が作用する環境とした時の実増加率が ”ｅ”、って事かい、と。
しかしこうしてみると見ると、色々なトコロで”ｅ”が出てくるのは、結構自然に思えてくる（イメージしやすくなる）。
一年したら急に倍になるっていうより、徐々に増加していくのが普通だし、増えた分も次の増加に組み込まれて寄与していくのも普通だし。。。
また、
\(e^x =\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+\dfrac{x}{n})^{n} \)
（”x” が、上でいう利率”ｒ”（増加力）を意味する事になる)
である事を踏まえれば、”火力一定”で水の温度の上昇曲線が ”e” を使った指数関数になるとか、経済成長率も ”e” の関数になるとかとか。。。
”ｅ” が関連してくるのもそりゃそうかと。。。