はじめに
定義式からの”e”の解釈については、
抜粋すれば、”e”は、
\( e=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+\dfrac{1}{n})^{n} \) （上の記事内の①式）
引き続き よく使われる ”\(e^x \)” の定義式についても覚書化。
”\(e^x \)” は、上の記事内の複利計算式（上の記事内の⑦式）
\(S_∞ =\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a \cdot (1 + \dfrac{r}{n})^n \)
を使う。
この式の初期値を \(a=1 \) 、\(r\)→\(x \) に書き換えて、
\(S_∞= \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1 + \dfrac{x}{n})^n \) ・・・①
とすれば、” \(e^x \) ” は、この式のただの式展開
”\(e\)” の定義で 利率 \(x=1\) としてしたため見えなくなったが、 \(x\) の部分はもともとこの式の一部、作用も一緒。
よって、”\(e^x \)” の定義で この \(x\) が見えるようにしてあげればよい。
以下が式展開
\(e^x \) の 導入
①式の右辺に \(e\) を底とした対数(\(ln \))をとる（ \(ln \ Z =log_e Z \) )
\( \displaystyle \lim_{ n \to \infty } ln (1 + \dfrac{x}{n})^n = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } n \cdot ln (1 + \dfrac{x}{n}) \) ・・・②
\( t = \dfrac{x}{n} \) (\( n= \dfrac{x}{t} \) ) 、\( ｎ → ∞ \) のとき \( t → 0 \) である事をふまえ、②式を変形すれば
\( \begin{align}
\displaystyle \lim_{ n \to ∞ } n \cdot ln (1 + \dfrac{x}{n}) &= \displaystyle \lim_{ t \to 0 } \dfrac{x}{t} \cdot ln(1+t) \\[6pt]
&= \displaystyle \lim_{ t \to 0 } \dfrac{ln(1+t)}{t} \cdot x
\end{align}\)
ここに、 \( \displaystyle \lim_{ t \to 0 } \dfrac{ln(1+t)}{t}=1 \) (← 覚書はこちら) を使えば、\( \displaystyle \lim_{ n \to ∞ } n \cdot ln (1 + \dfrac{x}{n}) =x \)
つまり、
\( \displaystyle \lim_{ n \to ∞ } ln (1 + \dfrac{x}{n})^n =ln \displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 + \dfrac{x}{n})^n =x \) ・・・③
この③式を指数表示にすれば \(e^x \) が導入できる。つまり、
\( e^x = \displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 + \dfrac{x}{n})^n \)・・・④
これが、\(e^x \) の定義式。
関数 \(e^x \) における \(ｘ\) の作用
さて、前の記事の⑥式（この記事では①式）とあわせれば、関数 ”\(e^x \)” における \(ｘ\) の意味（作用）がつかめる
ｘの意味するところは、とどのつまりは、増加力である。つまり、\(e^x \) は、増加力が変化していく時の出力値であるとみる事ができる。
例えば、”\( x \) ”の増加にともなう関数 \(e^x \) の見方の例として、\( x =1、２ \) を例にとれば、
- \( x =1 \) : \(e^{\color{red}{1}}\)
→ <解釈> 期間Tで2倍になる一定の増加力（ \(\color{red}{1} \) = 100％(利率)) がかかる環境下では、期間T経過時の実増加率は約2.718倍 (＝ \(e^1 \)) になる - \( x =2 \) : \(e^{\color{red}{2}}\)
→ <解釈> 期間Tで3倍になる一定の増加力（ \(\color{red}{2} \) = 200％(利率)) がかかる環境下では、期間T経過時の実増加率は約7.389倍 (＝ \(e^2 \)) になる - ・・・
といった感じのイメージ。
（\( x \) が時間ｔで表してある関数といった例 ( \(e^{αｔ}\))であれば、時間ｔの経過に伴い ”増加力（利率）自体が増える環境下” での関数、とイメージするのもいける)
\(\dfrac{1}{e} \) の 導入
\(\dfrac{1}{e} \) も 簡単に求まるのでついでに。
④式に \(x=-1 \) を代入すれば、
\( \displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 + \dfrac{-1}{n})^n =e^{-1} \) より
\( \dfrac{1}{e} = \displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 – \dfrac{1}{n})^n \) ・・・⑤
以上