はじめに
「無限級数展開」とは、例えば、整数１の級数展開したものとして「数列」の和の形をつかって、
1 = \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots \) ・・・①-1
もしくは、無限級数は和を表す Σ を使い、
1 = \( \displaystyle \sum_{n=1}^{∞} \dfrac{1}{2^n} \) ・・・①-2
とも書かれる（①-2は記号を使ってまとめて表記してるだけであり、①-1式と意味は同じ。）
さて、この「級数展開」少し面倒に感じるが、意味するところは
- 条件を満たす関数を、一定の展開形式を持った無限個の項の和（無限級数）に「関数変換」すること
である。 すなわち、左辺にある「関数（値）」を、右辺にある「無限個の項の和」の形へと書き換える作業を指す。
この「数列」から始まるこの「無限級数展開」の概念＆仕組みは覚えておいて損はない。
なぜなら、この「関数変換」こそが、「アナログ的な無限の連続情報を、デジタル処理できる有限の数値（係数）の組み合わせへと変換する知識」のベース、つまり、デジタル機器のデータ処理や圧縮技術の基礎（の前の基礎）知識につながるが故である。
無限級数展開のメリット
その特徴を例とともにあげてみれば
- 簡単な項の和としての表現
条件を満たす関数であれば、扱いやすいシンプルな項の無限の足し合わせとして表すことができる。- 例：振動データの周波数解析（フーリエ変換）
- 精度を段階的に高める近似（打ち切りによる利用）
足し合わせていく項の数を増やすことで、精度をどこまででも向上させられる。- 例：画像フォーマットのJPEG
- 画像データを周波数成分（離散コサイン変換）に分解し、人が認識しにくい高周波成分を削減してデータ量を減らす
- 例：無理数の近似値算出（ 例：\( e \)、\( \pi \)、\( \sqrt{2} \)・・・）
- 例：画像フォーマットのJPEG
もちろん、対象とする級数展開の種類（テイラー展開、フーリエ級数など）はそれぞれ異なるが、根底にある考え方は共通している。
つまり、「無限級数化し、誤差を示す剰余項が “0” に収束するならば、元の関数を完全に再現（または高精度に近似）できる」という原則である。
テイラーの定理からはじめてテイラー展開、そこからのマクローリン展開
さて、級数展開といえばテイラー展開、今回は「テイラーの定理」からはじめて「テイラー展開」、そこから「マクローリン展開」にいたるまで説明
（振動解析ではフーリエ級数を用いたフーリエ展開（変換）となるが、こちらは別途で（覚書化予定））。
テイラーの定理
マクローリン展開は、テイラー展開の限定版。このテイラー展開は ”テイラーの定理” から導かれる。
というわけで、まずはテイラーの定理から
テイラーの定理
\( f(x) \)が、十分に微分可能な関数であるとき
\( f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +\dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n \) ・・・②
となる \( a <ｃ< x \) が存在する
Note1: \(f^{(n)}(x) \) : \( f(x) \) の n回微分
Note2: \(n! \) : \(n\)の階乗（\(n! = 1 \times 2 \times 3 \cdots \times n\) )
ちなみに、この右辺の最後の項
\( R_n = \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n \) ・・・③
はラグランジェの剰余項と呼ばれる
さて、これが何をやっているのかといえば、
- まずは（ｎ-１）個まで級数展開：
- 十分に微分可能な関数 \( f(x) \) を、とりあえず \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \) を使って、\(（ｎ-１）\) 個まで級数展開
- 第ｎ項を剰余項にして、その項を（ｎ-１）個まで級数和に加えることで、\( f(x) \) に一致させる：
- 単純に、\( (n−1) \) 項までの級数和に、元の関数\( f(x) \) との誤差を最終項（剰余項）で修正して、元の関数 \( f(x) \) に一致させているだけ
←誤差を剰余項にて補正する
- 単純に、\( (n−1) \) 項までの級数和に、元の関数\( f(x) \) との誤差を最終項（剰余項）で修正して、元の関数 \( f(x) \) に一致させているだけ
で、このつじつま合わせの剰余項に、ラグランジェの剰余項 \( R_n \)を採用すれば、この剰余項で使用する実数 \( ｃ \) は、 \( a <ｃ< x \) の間に必ず存在する、と言っているのがテイラー定理。
つまり、
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \) を用いて、微分可能な関数 \( f(x) \) を分解していき、（n−1） 項までの級数和を算出し、元の関数\( f(x) \) と、この級数和との誤差を表す項に、ラグランジェの剰余項をもちいれば、この剰余項に使用する\( c（a<c<x）\) は、必ず存在する。
よって、この剰余項を加えてやれば、この級数和+剰余項は元の関数 \( f(x) \) と完全に一致させることができ「関数変換が可能」である
という定理
この背景から最後のつじつま合わせの項（あまりの項）の名前は、”剰余項”。
（ちなみに、級数展開方法自体も様々なタイプがあり、剰余項にも様々なタイプがある）
さて、無限に飛ばしたときに、”剰余項”単体が０に収束すれば、もとの級数和だけで単純に無限級数化できるじゃん（剰余項は０になるので不要になる）、で導かれるのが、次のテイラー展開
テイラー展開
\( n → ∞ \) とした時に剰余項が\(R_n → 0 \) に収束する場合、\( f(x) \) は無限級数として表すことができる。
（最終的に剰余項が ”0” に収束するため）
（注：当然、\( n → ∞ \) で \(R_n \) が 0 に収束しない \( f(x) \) もあるので、全ての関数 \( f(x) \) に適用できるわけではない）
つまり、剰余項が \(R_n → 0 \) が確認できれば、②式は
\( f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{∞} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \) ・・・④
に置き換える事ができる。なお、この展開は 展開の基点 \(a\) の近くで特に良い近似になる。
これがテイラー展開の式。
（テイラー展開は、関数を多項式で近似する方法とも言える。一次までなら接線、二次までなら放物線、三次までなら三次曲線で元の関数を近似していくイメージである。）
マクローリン展開
加えて、テイラー展開の微分の基点を \( a=0 \) とすれば、
\( f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{∞} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \) ・・・⑤
この⑤式がマクローリン展開。要は、テイラー展開の限定版。テイラーの定理がわかれば、仕組みは結構シンプル。
さいごに
使われ方のイメージ用に、簡単な例を追記。。。
例えば
\(e^x \) は、\(n → ∞ \)の時剰余項は \(R_n → ０ \) に収束するので、マクローリン展開 が使用可能。
\(e^{x}=\dfrac{1}{0!}x^{0} + \dfrac{1}{1!}x^{1} + \dfrac{1}{2!}x^{2} + \dfrac{1}{3!}x^{3} + \cdots \)
これを利用すれば、\(e^x \)の近似式が簡単に求められる。次数が 3次の精度までとすれば、近似式は
\(e^{x}≒1 + x + \dfrac{1}{2}x^{2} + \dfrac{1}{6}x^{3} \)
となる。つまり \(e =e^1\) なので、この式に \(x=1 \) を代入すれば、
\(e ≒ 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}≒ 2.66 \)
（実際の値 \(e \)=2.71828・・・）
と \(e \) の近似値が求まる（値の精度を上げたい場合は、展開する項数を増やせばよい）。
なかなか便利。
ちなみに、\(sin\theta\)、\(cos\theta\)、\(e^{i\theta}\) にマクローリン展開をつかえば、オイラーの公式（\(e^{i\theta}=cos\theta+i\cdot sin\theta\) ）を導くことができる。
