はじめに
級数展開というと面倒な感じがするが、要は
- ある関数（値）を数列の和（無限級数の和）に”置き換える事
肝は、”任意の関数（値）である左辺” と ”一定のルールで展開した右辺の関数（値）”が ”＝（イコール：完全一致）”で結ぶ事ができるコト
数列からはじまり無限級数へ、最初はクイズみたいで ”いつ使うんだよ” 的な感じだったが、結局はここの理解への入口
級数の特徴としては、
- 任意の関数を、無限に足し合わせた簡単な項の和で表す事ができる（任意関数が分解可能）
- 例：任意の振動データの周波数解析（フーリエ変換）
- 足し合わせていく事で精度がどんどん向上する（近似に使用可能）
- 例：画像Formatのjpeg とかのデータ圧縮
- 画像生データの周波数分解（関数の簡易化）+（人が認識できない）高周波データのカットによるデータ削減
- 例：無理数の近似値算出（ 例：\( e \)、\( \pi \)、\( \sqrt{2} \)・・・）
- 例：画像Formatのjpeg とかのデータ圧縮
もちろん級数展開自体はそれぞれ異なるが、基本、
- 無限級数化し余りを示す剰余項が”０”に収束するなら、 元の関数は完全再現される
という考え方は同じ
級数展開の書き方
例えば
1 = \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots \) ・・・①
とあれば、数字”１” の（無限）級数展開とは、①式の右辺（分数の足し算部分）を指す。
これを和を表す Σ を使って書けば、
\( 1= \displaystyle \sum_{n=1}^{∞} \dfrac{1}{2^n} \)
のように書く。以降はこの書き方
テイラーの定理からはじめてテイラー展開、そこからのマクローリン展開
級数展開といえばテイラー展開、今回はテイラーの定理からはじめてテイラー展開、そこからマクローリン展開まで説明
（振動解析ではフーリエ級数を用いたフーリエ展開（変換）となるが、こちらは別途で（覚書化予定））。
テイラーの定理
マクローリン展開は、テイラー展開の限定版。
で、このテイラー展開は ”テイラーの定理” から導かれる。
といった訳で、まずはテイラーの定理から
テイラーの定理
\( f(x) \)は、n回微分可能で連続である時
\( f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +\dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n \) ・・・②
となる \( a <ｃ< x \) が存在する補
補1: \(f^{(n)}(x) \) : \( f(x) \) の n回微分
補2: \(n! \) : \(n\)の階乗（\(= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n\) )
また、この時の最後のn項
\( R_n = \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n \) ・・・③
をラグランジェの剰余項という。
これが何を言っているかというと、
任意の関数 \( f(x) \) を、とりあえず \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \) を使い（ｎ-１）個まで級数展開。
で、この級数の総和を\( f(x) \) と一致させる役割（つじつま合わせ）を担うのが、最後のｎ個目の関数項 ( この部分：\( \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a)^n \) )。
かつ、この最後の関数項でつじつまあわせに使う \( ｃ \) が \( a <ｃ< x \) の間に存在する、と言っている。
つまり、
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \) で任意の関数 \( f(x) \) を分解していき、最後の項において微分の起点を \( a \) ではなく、\(a<c< x\) に存在する \(c\) を使用すれば、この級数展開は元の関数 \( f(x) \) と完全に一致させることができる
という定理
この最後のつじつま合わせの項は、”剰余項”と呼ばれる
（ちなみに、級数展開方法自体も様々なタイプがあり、剰余項にも様々なタイプがある）
さて、このテイラーの定理の級数を無限級数化したのがテイラー展開。
テイラー展開
\( n → ∞ \) とした時に、剰余項 \(R_n \) が \(R_n → 0 \) に収束するのであれば剰余項にこだわらなくとも、\( f(x) \) は無限級数展開で置き換えられる（＝最終項である剰余項が”0”におちるため）。
（注：当然、\( n → ∞ \) で \(R_n \) が0に収束しない \( f(x) \) もあるので、全ての関数 \( f(x) \) に適用できるわけではない）
つまり、剰余項が \(R_n → 0 \) が確認できれば、②式は
\( f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{∞} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \) ・・・④
に置き換える事ができる。これがテイラー展開の式。
マクローリン展開
加えて、テイラー展開の微分の基点を \( a=0 \) とすれば、
\( f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{∞} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \) ・・・⑤
この⑤式がマクローリン展開。要は、テイラー展開の限定版
さいごに
使われ方をイメージするのに、簡単な例を追記。。。
例えば \(e^x \) は、\(n → ∞ \)の時剰余項は \(R_n → ０ \) に収束するので、マクローリン展開 が使用可能。
\(e^{x}=\dfrac{1}{0!}x^{0} + \dfrac{1}{1!}x^{1} + \dfrac{1}{2!}x^{2} + \dfrac{1}{3!}x^{3} + \cdots \)
これを利用すれば、\(e^x \)の近似式が簡単にでてくる。例えば 次数が 3次の精度まででよければ、近似式は
\(e^{x}≒1 + x + \dfrac{1}{2}x^{2} + \dfrac{1}{6}x^{3} \)
としてしまえばよい。、また 同じ精度で \(e \) の近似値がほしければ、\(x=1 \) を入れて、
\(e ≒ 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}≒ 2.66 \)
と近似値を求める事ができる（ちなみに値の精度をあげたいなら、展開の項数を増やせばよいだけ）。
便利便利。