はじめに
関数 \(e^ x\) のマグローリン展開に、この関数の微分の形が変わらない事 \( (e^ x)’ = e^ x \) を利用すると面白い事になることが知られている
→ すっきりとした簡易表現が可能（数学ってよくできてるなぁと）
ちなみに、マグローリン展開（テーラー展開の起点を０とした展開）とは以下
<マグローリン展開>
\(\begin{align}
f(x) &= f(0) + f’ (0)(x) + \dfrac{f^{”} (0)}{2!}(x)^2 + \dfrac{f’^{”} (0)}{3!}(x)^3 + \cdots \\[6pt]
&= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n
\end{align} \)
\(e^ x\) へのマグローリン展開の適用
\(e^ x = (e^ x)’ \) 、\(e^ 0 = 1 \) を使えば、常に \( f^{(n)}(0)= (e^x)^{(n)} =1\)
これをマグローリン展開にいれこめば
\(\begin{align}
e^ x &= 1 +x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + \cdots \\[6pt]
&= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}
\end{align} \)
つまり 級数展開からも \(e^ x\) が定義でき、
\(e^ x= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!} \) ・・・①
となる。
参照までに、\(e^ x\) の 極限値からの定義 は
\( e^x = \displaystyle \lim_{ n \to ∞ } (1 + \dfrac{x}{n})^n \)
級数展開からの \(e \) の定義
\( x=1 \) を使えば、 \(e \) も級数展開から定義できる。①式に \( x=1 \) をいれるだけ
つまり、
\(e = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \) ・・・①
参照までに、\(e\) の極限値からの定義は
\( e=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+\dfrac{1}{n})^{n} \)